关于外测度和的Lebesgue积分

问题是：在学习外测度的时候就有个疑惑。外测度是通过用可列个开矩体来覆盖点集，然后取开覆盖的下确界。问题是，外测度总是存在的吗（正无穷也当作存在）？
在之前实数完备性的时候知道有界集是必有确界的。但是这里是对某一种取法得到的开矩体的体积之和取下确界，觉得有些问题。如果我们总是能取到下确界，他的公理依据是啥呢?
同样的，定义一般非负积分的时候他用的是同样的思想，用一族非负可测简单函数的积分的上确界来定义一般非负可测函数的积分，这积分总是存在的吗？
回答：
因为所有操作导致实数集，实数是具有最小上界性的完备有序域。
这是古代数学的处理方法了，外测度根本不需要。现代的做法是用公理定义抽象测度，然后用Riesz表示定理找出我们需要的测度。Riesz表示定理[1]是证明各种测度存在的非常有效的技术，Haar测度和Lebesgue测度的存在性都可以用它方便地得出。更重要的是这个定理导致了对于Distribution Theory的一系列工作，Laurant Schwartz先生的著作是这方面标准的参考文献，它们在分析的各个分支都特别有用，泛函分析或者调和分析中的作用更是不用多说的。 实分析方面，只要明白2个定理就可以开始读论文和专著了：它们是Riesz表示定理和Radon-Nikodym定理[2]。泛函分析方面只要熟悉Gelfand变换就行了，非常方便快捷。古代数学就不同了，零碎的东西很多。
补充：Riesz表示定理
[;C_c(X);]上的每一个正线性泛函和[;X;]上的正测度存在1-1对应，这里X是局部紧的Hausdorff空间。这个version似乎首先出现在Halmos的书里。测度不一定是正则的。
还有一个[;C_0(X);]上的version，是Kakutani证明的。
知识补充：
[1]里斯表示定理:http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem
[2]拉东-尼科迪姆定理:http://en.wikipedia.org/wiki/Radon%E2%80%93Nikodym_theorem
[3]Big Rudin 第二章节 http://book.douban.com/subject/1446020/
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