现代数理逻辑的发展轨迹

基础概念 ( 全部 )

2020-07-12 05:55:13
在《从离散数学开始》中,我们曾提到两个关系:第一、数学与其它科学的关系,亦即数学是用来解决其它科学问题的工具;第二、数理逻辑与数学的关系,亦即数理逻辑是用来解决数学问题的工具。本篇笔记准备从技术层面,更具体地说是从形式系统的语言层面详细讨论这第二个问题。这个问题的实质就是:数学需要一种统一的语言作为...... (3回应)
2020-07-07 01:27:19
理解了形式系统的概念,下一个问题就是:如何设计这个系统的语言?——这是该形式系统最主要的成分。首先,设计一个形式系统一定是有一定目的的。例如,设计一门程序设计语言,因此在考虑设计形式系统的语言结构时就一定要事先考虑未来所要绑定的语义。不过,我们这里这个形式系统未来所要指称的语义是某个数学分支,为这个......
2020-06-15 02:06:46
在《能否通过离散数学学习数理逻辑?》中,我们深入探讨了从离散数学开始入门学习数理逻辑的可能性。不过,大部分人学习离散数学并非是为了学习数理逻辑,因此以学习数理逻辑为目的学习离散数学,其观念、视角、学习方法、内容选取就与一般性的学习有了很大不同,最大的不同是:对每项内容的学习,程度要更深入,而学习的目...... (3回应)
2019-06-12 12:37:04
【为什么数理逻辑被认为非常难学,究竟难在什么地方?有没有什么更便捷的方法?】 数理逻辑公认比较难学,但原因却不在于这门知识本身有多高深,而是有两个更本质的原因:第一,在我们以往从小学、中学到大学的所有知识积累中,很少有关于逻辑与数学二者相关性的训练(初等几何证明可能给我们一些感性的经验),更没有数学...... (5回应)
2019-06-07 08:38:14
上篇笔记我们谈了三个相关的概念: 1. meta关系 2.【meta关系】与【元】的关系 3. 初步认识了【元语言】的概念 本篇笔记的话题将集中在【元语言】本身,通过一些实例展示更好地从感性认识上理解【元语言】的概念,然后讨论【元语言】的几种类型[1]。 再重复一下上篇笔记提出的建议,本篇笔记对读者的要求是:具有初步的语......
2019-05-26 14:28:20
从本篇笔记开始,我们将系统地谈谈【元语言】以及和【元语言】相关的概念。 在开始进入这个话题之前,最好有一些语义学的入门知识,这方面可以参考我的《自然语言语义学杂谈》系列,否则本篇笔记中的一些术语可能会感到莫名其妙。 关于这个问题,我在《数理逻辑中的语言学入门(1)》笔记的末尾曾经提到,在形式系统的研究中...... (6回应)
2019-04-24 05:30:42
华容道
【数理逻辑如何入门】:再聊形式系统 在前面几篇笔记中,我们花了大量篇幅讨论【公理系统】和【形式系统】。所谓【公理系统】其实就是某一数学分支中的所有概念、定义、公理、定理以及证明,一言以蔽之,就是这个数学分支的理论。 如果抽去【公理系统】中的命题内容,只保留其形式框架,则称之为【形式系统】。形式系统包...... (3回应)
2019-04-21 03:26:52
汉字中的“一”字,可以说是笔画最简单的汉字。和西方的用拉丁字母组成的数词相比,这个看上去像是横躺着的阿拉伯数字“1”,却充满了古代中国人所寄托的哲学情怀。先看看下面一段文字: “惟初太始,道立于一,造分天地,化成萬物” 这是什么?这就是中国人对“一”这个概念的哲学认知——许慎的《说文解字》对“一”的......
2018-12-07 11:47:00
本来这篇笔记的内容是关于元语言和meta-概念族的讨论,但最近购入一本新书,使我稍稍改变主意,将这个话题延后,利用本篇笔记结合这本新书谈谈学习数理逻辑的一些方法和相关值得注意的问题。 首先,我毫无保留地推荐Richard Hodel的《An Introduction to Mathematical Logic》,这本书可以说是同类图书的范本。这本书的最大...... (9回应)
2017-12-25 15:08:23
人类区别于自然界其他动物的一个主要特征就是语言。作为一个正常人,我们至少会一门语言的读写听说。语言的作用第一是交流,是人类表达自身内部状态的重要手段,也是人与人共享信息的工具。语言的形式,最主要的有三种:口头语言、书面语言和肢体语言(例如聋哑人使用的手语)。除了这些人类日常语言之外,还有许多人工语言...... (1回应)

数学基础和数学哲学 ( 全部 )

2020-01-11 21:03:44
本文引自龚昇《微积分五讲》第一部分《回顾中学数学》 1.百年前的讲演 20世纪已经过去,这是一个伟大的世纪。在这个世纪,数学得到了前所未有的迅猛发展。在这个世纪即将来临时,1900年8月5日,德国数学家希尔伯特(David Hilbert 1862-1943)在巴黎第二次国际数学家大会上作了题为“数学问题e”的著名讲演【1】。这是一个载......
2019-10-31 12:56:06
我在《能否通过离散数学学习数理逻辑》曾经提到:数理逻辑源自于数学哲学的几个根本问题:数是什么?数的本质是什么?如何表达关于「数」的概念、命题和理论? 本篇笔记就来谈谈这个问题。方法和上一篇一样,一次只谈一个小问题。不过这次先来谈论一本书——《Introduction to Mathematical Thinking: The Formation of Con...... (2回应)
2019-05-30 03:16:22
弗雷格与希尔伯特的几何学基础之争 ——兼论胡塞尔对几何学起源的分析 作者:钱立卿 来源:《世界哲学》2015年第2期 引自:搜狐网 导言 康德在《纯粹理性批判》开篇就谈到了算术与几何命题的先天综合特征,尤其对于几何学来说,其综合基础是作为纯粹直观形式的空间。但康德主要依赖单一的几何学经验出发研究其本质,并在......
2018-12-18 08:51:58
【数学基础】—— Foundations of Mathematics,是一门非常独特的学科,因为这门学科横跨数学、哲学、逻辑,是一门非典型的数学分支。由【数学基础】所衍生的学科是:数论、数学哲学和数理逻辑。 为了介绍这门学科,用传统的方法,例如教科书、读书笔记等单向方法很难使受众理解其本质,因此从本篇开始,我准备换一种方法,...... (17回应)
2018-11-10 06:23:22
【抽象代数】群的概念 (1) 0. 背景知识 布尔巴基学派曾经试图用一个统一的“接口”连接所有的数学知识。在某种程度上他们做到了,这个接口就是“结构”。所以,现代数学的教科书前几章一定是从集合、关系、函数以至于群的概念开始,不管学科的具体内容是分析、代数还是几何、拓扑。 【结构】用最简单的非数学语言表述就是......
2018-10-07 23:54:34
算术运算 加、减、乘、除这四种运算是我们从记事起就学到的基本数学技能。不过在不同的阶段,我们用来运算的对象却有所不同。小学低年级,我们使用自然数,从1开始到100,然后扩大范围;后来学习了分数、小数;再后来我们学习了负数;到了中学,我们知道了有理数和实数;最后我们学习了复数。 如果把这个过程理论化,首先...... (1回应)
2018-05-14 01:35:19
数学哲学是什么样的学问? (1回应)
2018-01-07 18:09:29
本篇笔记以及后面几篇笔记将讨论一个比较大的话题——代数结构,因为数理逻辑所研究的数学内容主要是数学基础——关于自然数的公理系统;有了自然数的公理系统,就可以建构有理数和实数的公理系统。但这些系统非常复杂,因此在讨论代数结构时,我们先要小心翼翼地避开一些棘手的问题,从最简单的结构开始。 脱离了具体的数...... (2回应)
2017-04-07 08:27:15
每个学科都有自己专门的研究对象,例如生物学,研究动物、植物和微生物,天文学研究恒星、行星等天体。因此我们可以把生物学定义为研究生命有机体的科学,而把天文学研究宇宙的科学。但是数学该如何定义呢?通常的说法是研究数和形的科学,但是实际上,在整个数学的历史上,数学的定义却是随时代而变化的。 在古希腊,数学......
2017-03-23 06:32:39
我们知道,弗雷格1879年在《Begriffsschrift》(中文:概念文字、或:概念语言)中第一次将函数的概念引入到逻辑,建立了以真值函数核心概念的一阶逻辑理论。(不知道的可参阅《概念文字》)在弗雷格看来,任何表达式、无论是语言的句子还是数学的公式,都是由一系列有限符号组成,在维持表达式的句法不改变的情况下,表达......

教科书点评 ( 全部 )

2017-02-09 17:15:59
上回谈到,在一个逻辑系统中,存在三类元素:个体、谓词和句子,个体是最基本元素,就像几何学中的点和线一样,无法再进一步分析。而谓词,则是一个多棱镜,从不同的角度看有不同的“视图”。从纯逻辑的角度,谓词就是一个函数,从个体到真值的函数;从模型论的角度,谓词可以看做是“论域”中的一个子集;从哲学角度,谓词...... (4回应)
2017-01-07 05:09:30
2. Individual Constants and Predicates 用精确化的形式语言来严格定义科学理论应当是所有科学领域追求的目标,也是符号逻辑建立的基本动机。其基本方法就是:设定研究对象的范围、边界,然后确定在这个范围内的个体对象。研究对象的范围,我们通常称之为“领域”(domain)或“论域”(universe of discourse)。我们的......
2016-12-12 12:13:24
《Introduction to Symbolic Logic and its Applications》(符号逻辑及其应用导论)应当是20世纪出版的最伟大的逻辑教科书之一,也是正在学习逻辑的学生最应当读的名著之一。在本书的德文版序言中作者认为:符号逻辑使用抽象符号当然是现代逻辑最引人瞩目的特征之一也是现代逻辑学与亚氏经典逻辑最大不同之一,但是符号逻辑......
2016-12-07 09:41:58
卡尔纳普(Rudolf Carnap)是20世纪著名的分析哲学和逻辑实证主义学者,他的研究重点之一就是逻辑、语言和科学理论的关系。逻辑和语言关系的研究,来自于19世纪末20世纪初第三次数学危机的产生。这里所谓的“语言”并不是一般意义上的自然语言,而是作为公理化科学理论所使用的语言。对这个语言的最早的提倡者是莱布尼兹,...... (1回应)

数理逻辑进阶 ( 全部 )

2018-11-17 13:24:40
2017-03-21 09:00:40
小站自改版以来,已经发表了许多属于初级内容的笔记、书评和教程。当然,这些内容大多偏重符号逻辑、数理逻辑以及逻辑的各种应用,对完全的初学者照顾不够。另一方面,对于那些有一定逻辑基础、特别是已经学过《离散数学》想进一步挑战高端数理逻辑、特别是近代或者最新成果的读者来说本站也没有适合的内容。所谓高端数理逻...... (1回应)
逻辑
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