逻辑符号逻辑的意义
One should realize...that if we consider these four, namely wine, king, woman, and truth, in themselves they are not comparable because they do not belong to the same genus.
Nevertheless, if they are considered in relation to some effect, they coincide in one aspect, and so can be compared each other.
——St. Thomas Aquinas
（应当认识到，当我们在孤立地谈论“红酒、国王、女人和真理”这些概念时，是没有可比性的， 因为它们并不属于同一类别。但是，如果将这些概念放在某种效应的关系上谈论，那么它们将在某个方面重合使得我们可以对其相互比较。）
The main thing to be noted about this operation of inference is that it is not so much a piece of reasoning as mechanical, or strictly mathematical, operation for which a rule has been given. No "mental" operations is involved except that required to recognize a previous proposition followed by the main implication sign, and to set off what follows that sign as a new assertion.
——Clarence Lewis
(关于推演操作最值得注意的是，它与其说是推理的片段，不如说是给定规则的机械运算、或严格的数学运算。除了识别前面的命题、后续的主蕴含符以及该符号后面的新命题符号外，不涉及任何“心理”过程。)
逻辑是一门博大精深的学问，全面、系统、严肃、认真的逻辑学习不应当停留在基于自然语言的推理之上，而是将精确性、严谨性放在首位，因此，使用符号 —— 更确切的说法是，引入形式语言，用形式语言进行推理论证才是逻辑学的主要内容。这些内容包括了下列几个方面：
1. 对论证类型的研究
2. 对「逻辑形式」(logical form) 的系统研究
3. 对演绎式推论有效性 (the validity of deductive inference) 的研究
4. 对归纳推论 (inductive inference) 的研究
5. 对非有效 (invalid) 论证、例如「谬误」(fallacy)的研究
6. 对逻辑悖论的研究 (paradox)
7. 对形式语言的句法和语义的研究 (syntax and semantics)
8. 对自然语言的概念的意义、指称和真的研究 (concepts of meaning, denotation and truth)
（以上的归纳来自于英语维基：logic）
符号逻辑是对基于自然语言的逻辑表达式的抽象。符号逻辑使用无意义的拉丁、希腊字母以及这些字母的各种变体表达论证中出现的句子或句子成分，用逻辑连接符表示复合句，用量词表达论证句子中所出现的个体变项所指称的范围。由这些符号、字母和其它辅助分隔符组成的语言，构成一个形式系统。形式系统的目的是将某个学科的知识形式化，形式化后的知识又称作「公理化」，从一组设定为真、被称作「公理」的句子出发、通过演绎式推导式得到新的句子，这样的句子包含了新的、公理句不曾包含的新命题，以及由新命题所表述的新事实。因此，符号逻辑是许多科学研究的基础理论。
英国数学家乔治·布尔是现代逻辑和逻辑代数的创始人之一，他在1847年的划时代论文《Mathematical Analysis of Logic》中全面、精确、一语中的地定义了符号逻辑、代数逻辑和逻辑代数的精髓：
“熟悉符号代数理论现状的人们都知道，分析过程的有效性不依赖于对被使用符号所做的解释，而只依赖于它们的组合规律。对所假定的关系的真假没有影响的每一个解释系统，都是同样可允许的。这样一来，同一个过程在一种解释方式之下可以表示关于数的性质问题的解法，在另一种解释方式之下，表示几何问题的解法，而在第三种解释方式之下，则表示力学或光学问题的解法。... 我们可以正当地规定一个真演算的下述确定性质，即：它是一种依赖于使用符号的方法，它的组合规律是已知的和一般的， 它的结果就是承认一致性的解释。对分析的现有形式规定一种量的解释是那些形式由以被决定的情况造成的结果，而不是分析的普遍条件。就是在这种一般原理的基础上，我的目的是要建立逻辑演算，我要为它在众所公认的数学分析的形式中取得一个位置，而不去考虑它目前在目的和手段方面是否一定是无与伦比的。”
【逻辑进阶】栏目关注于上述更广泛的逻辑学内容，焦距于逻辑学的抽象形式侧面 —— 符号逻辑。符号逻辑与普通逻辑，相对于数学，类似于小学算术与中学代数，前者关注于具体的 操作/运算 过程，后者则关注于 操作/运算 的规律。
本栏目适合那些有一定逻辑基础（最好有中学数学基础）、想进一步从日常逻辑推理向符号逻辑和数理逻辑深入学习的学习者。本栏的内容，更强调逻辑的严谨和精确，以形式语言为描述工具，探索各种逻辑系统的句法和语义问题以及逻辑与哲学、逻辑与语言的关系，以及自亚里士多德至近代的逻辑发展史。
本栏目的另一个专栏是形式证明：关注和探讨在初等数学中广泛使用的证明问题。关注的重点不是证明题的解题技巧而是其背后的逻辑知识，展示数学证明与逻辑学的关系。
Proofs are to Mathematics what spelling (or even calligraphy) to poetry.
Mathematical works do consist of proofs, as poems do consist of characters.
-- Vladimir Arnold
目前内容包括三大板块：
1. 【GAMUT系列（一）】《Logic, Language, and Meaning Volume 1: Introduction to Logic》
2. 【逻辑与哲学】介绍自亚里士多德以后的古典逻辑、哲学逻辑与逻辑哲学的历史。
3. 【形式推理】数学证明的基本原理和方法
Nevertheless, if they are considered in relation to some effect, they coincide in one aspect, and so can be compared each other.
——St. Thomas Aquinas
（应当认识到，当我们在孤立地谈论“红酒、国王、女人和真理”这些概念时，是没有可比性的， 因为它们并不属于同一类别。但是，如果将这些概念放在某种效应的关系上谈论，那么它们将在某个方面重合使得我们可以对其相互比较。）
The main thing to be noted about this operation of inference is that it is not so much a piece of reasoning as mechanical, or strictly mathematical, operation for which a rule has been given. No "mental" operations is involved except that required to recognize a previous proposition followed by the main implication sign, and to set off what follows that sign as a new assertion.
——Clarence Lewis
(关于推演操作最值得注意的是，它与其说是推理的片段，不如说是给定规则的机械运算、或严格的数学运算。除了识别前面的命题、后续的主蕴含符以及该符号后面的新命题符号外，不涉及任何“心理”过程。)
逻辑是一门博大精深的学问，全面、系统、严肃、认真的逻辑学习不应当停留在基于自然语言的推理之上，而是将精确性、严谨性放在首位，因此，使用符号 —— 更确切的说法是，引入形式语言，用形式语言进行推理论证才是逻辑学的主要内容。这些内容包括了下列几个方面：
1. 对论证类型的研究
2. 对「逻辑形式」(logical form) 的系统研究
3. 对演绎式推论有效性 (the validity of deductive inference) 的研究
4. 对归纳推论 (inductive inference) 的研究
5. 对非有效 (invalid) 论证、例如「谬误」(fallacy)的研究
6. 对逻辑悖论的研究 (paradox)
7. 对形式语言的句法和语义的研究 (syntax and semantics)
8. 对自然语言的概念的意义、指称和真的研究 (concepts of meaning, denotation and truth)
（以上的归纳来自于英语维基：logic）
符号逻辑是对基于自然语言的逻辑表达式的抽象。符号逻辑使用无意义的拉丁、希腊字母以及这些字母的各种变体表达论证中出现的句子或句子成分，用逻辑连接符表示复合句，用量词表达论证句子中所出现的个体变项所指称的范围。由这些符号、字母和其它辅助分隔符组成的语言，构成一个形式系统。形式系统的目的是将某个学科的知识形式化，形式化后的知识又称作「公理化」，从一组设定为真、被称作「公理」的句子出发、通过演绎式推导式得到新的句子，这样的句子包含了新的、公理句不曾包含的新命题，以及由新命题所表述的新事实。因此，符号逻辑是许多科学研究的基础理论。
英国数学家乔治·布尔是现代逻辑和逻辑代数的创始人之一，他在1847年的划时代论文《Mathematical Analysis of Logic》中全面、精确、一语中的地定义了符号逻辑、代数逻辑和逻辑代数的精髓：
“熟悉符号代数理论现状的人们都知道，分析过程的有效性不依赖于对被使用符号所做的解释，而只依赖于它们的组合规律。对所假定的关系的真假没有影响的每一个解释系统，都是同样可允许的。这样一来，同一个过程在一种解释方式之下可以表示关于数的性质问题的解法，在另一种解释方式之下，表示几何问题的解法，而在第三种解释方式之下，则表示力学或光学问题的解法。... 我们可以正当地规定一个真演算的下述确定性质，即：它是一种依赖于使用符号的方法，它的组合规律是已知的和一般的， 它的结果就是承认一致性的解释。对分析的现有形式规定一种量的解释是那些形式由以被决定的情况造成的结果，而不是分析的普遍条件。就是在这种一般原理的基础上，我的目的是要建立逻辑演算，我要为它在众所公认的数学分析的形式中取得一个位置，而不去考虑它目前在目的和手段方面是否一定是无与伦比的。”
【逻辑进阶】栏目关注于上述更广泛的逻辑学内容，焦距于逻辑学的抽象形式侧面 —— 符号逻辑。符号逻辑与普通逻辑，相对于数学，类似于小学算术与中学代数，前者关注于具体的 操作/运算 过程，后者则关注于 操作/运算 的规律。
本栏目适合那些有一定逻辑基础（最好有中学数学基础）、想进一步从日常逻辑推理向符号逻辑和数理逻辑深入学习的学习者。本栏的内容，更强调逻辑的严谨和精确，以形式语言为描述工具，探索各种逻辑系统的句法和语义问题以及逻辑与哲学、逻辑与语言的关系，以及自亚里士多德至近代的逻辑发展史。
本栏目的另一个专栏是形式证明：关注和探讨在初等数学中广泛使用的证明问题。关注的重点不是证明题的解题技巧而是其背后的逻辑知识，展示数学证明与逻辑学的关系。
Proofs are to Mathematics what spelling (or even calligraphy) to poetry.
Mathematical works do consist of proofs, as poems do consist of characters.
-- Vladimir Arnold
目前内容包括三大板块：
1. 【GAMUT系列（一）】《Logic, Language, and Meaning Volume 1: Introduction to Logic》
2. 【逻辑与哲学】介绍自亚里士多德以后的古典逻辑、哲学逻辑与逻辑哲学的历史。
3. 【形式推理】数学证明的基本原理和方法
GAMUT系列（一）目录
GAMUT第一卷系列在站长断断续续的努力下，已经积累了相当多的读书笔记。为了使同好浏览查阅方便，特开辟系列笔记目录，你可以直接点击进入选定的笔记。
《Logic, Language, and Meaning》全书介绍
入得我门来，先知三件事：第一章 导言 1.1
合理推断：续谈论证的有效性问题：第一章 导言 1.1（续）
逻辑和语义的关系：第一章 导言 1.2
五花八门的逻辑：它们到底是什么？第一章 导言 1.3
拿什么拯救你我的爱人：谈谈形式系统和形式语言 第一章 导言 1.6
展示一个简化版的命题逻辑系统
哲学与逻辑：百年回眸
逻辑学、语言学和哲学的三角恋爱关系：第一章：导言 1.4
分歧终端机：现代逻辑学的起源：第一章 导言 1.4 续（一）
弗雷格：现代逻辑的奠基人：第一章：导言 1.4 续（二）
令哲学家们纠结的自然语言：谈谈逻辑实证主义学派：第一章 导言 1.5.1
自然语言真的那么不可救药吗？分析哲学的语言观：第一章 导言 1.5.2
逻辑学在20世纪的新领域：自然语言的语义理论：第一章 导言 1.5.3
GAMUT系列第一章结束语：你喜欢吗？
第二章 命题逻辑：开场白
【命题逻辑】：基本概念
【命题逻辑】：否定、合取和析取运算
【命题逻辑】：蕴含与等价
【命题逻辑】：公式与函数
【命题逻辑】：一阶命题逻辑的句法和语义
第三章 谓词逻辑：开场白
【谓词逻辑】：原子句和谓词
【谓词逻辑】：复合句与翻译
【谓词逻辑】：初识量词（题外篇）
【谓词逻辑】：量化表达式和量词
【谓词逻辑】：量词和量化表达式的基本性质
【谓词逻辑】：量词辖域和谓词逻辑语言句法形式定义
【谓词逻辑】：自然语言中的量化表达
【谓词逻辑】：自然语言中的量化表达（续完）
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（一）- 概述
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（二）- 量词的语义
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（三）- 模型
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（四）- 解释函数
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（五）- 替换法
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（六）- 评估法
【谓词逻辑】：等价
【谓词逻辑】：关系
【谓词逻辑】：函数
一百年来逻辑符号的变迁
第四章 论证与推演：开场白
【论证与推演】论证与论证模式（一）
【论证与推演】论证与论证模式（二）
《Logic, Language, and Meaning》全书介绍
入得我门来，先知三件事：第一章 导言 1.1
合理推断：续谈论证的有效性问题：第一章 导言 1.1（续）
逻辑和语义的关系：第一章 导言 1.2
五花八门的逻辑：它们到底是什么？第一章 导言 1.3
拿什么拯救你我的爱人：谈谈形式系统和形式语言 第一章 导言 1.6
展示一个简化版的命题逻辑系统
哲学与逻辑：百年回眸
逻辑学、语言学和哲学的三角恋爱关系：第一章：导言 1.4
分歧终端机：现代逻辑学的起源：第一章 导言 1.4 续（一）
弗雷格：现代逻辑的奠基人：第一章：导言 1.4 续（二）
令哲学家们纠结的自然语言：谈谈逻辑实证主义学派：第一章 导言 1.5.1
自然语言真的那么不可救药吗？分析哲学的语言观：第一章 导言 1.5.2
逻辑学在20世纪的新领域：自然语言的语义理论：第一章 导言 1.5.3
GAMUT系列第一章结束语：你喜欢吗？
第二章 命题逻辑：开场白
【命题逻辑】：基本概念
【命题逻辑】：否定、合取和析取运算
【命题逻辑】：蕴含与等价
【命题逻辑】：公式与函数
【命题逻辑】：一阶命题逻辑的句法和语义
第三章 谓词逻辑：开场白
【谓词逻辑】：原子句和谓词
【谓词逻辑】：复合句与翻译
【谓词逻辑】：初识量词（题外篇）
【谓词逻辑】：量化表达式和量词
【谓词逻辑】：量词和量化表达式的基本性质
【谓词逻辑】：量词辖域和谓词逻辑语言句法形式定义
【谓词逻辑】：自然语言中的量化表达
【谓词逻辑】：自然语言中的量化表达（续完）
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（一）- 概述
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（二）- 量词的语义
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（三）- 模型
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（四）- 解释函数
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（五）- 替换法
【谓词逻辑】：一阶谓词逻辑的语义（六）- 评估法
【谓词逻辑】：等价
【谓词逻辑】：关系
【谓词逻辑】：函数
一百年来逻辑符号的变迁
第四章 论证与推演：开场白
【论证与推演】论证与论证模式（一）
【论证与推演】论证与论证模式（二）
逻辑史与哲学 ( 全部 )
2021-06-14 05:33:39
最近将相当一部分精力放在了代数的学习——欣赏上（欣赏 > 学习），为了加深对各种代数系统、包括逻辑代数、关系代数（其实是逻辑代数的发展）以及泛代数，以及抽象代数的一般理论的理解，看了一些书，这些书都是从史开始讲起。特别是作为逻辑代数的一部分关系代数，所有作者都是从德摩根——皮尔斯——施罗德——洛文海......
(1回应)
2018-10-17 11:40:35
Aquinas on Logic As the Philosopher says in Metaphysics I (980b26), “the human race lives by art and reasonings.” In this statement the Philosopher seems to touch upon that property whereby man differs from the other animals. For the other animals are prompted to their acts by a natural impu......
(1回应)
2015-01-06 18:43:30
虽然在【书籍介绍】和本栏中【GAMUT】系列中对该书做了详细的介绍，但那都是别人的观点，【书籍介绍】中是美国人的观点，本栏的介绍是书作者的观点。在这里谈谈我本人的看法。 首先，这是我当学生时用过的课本，也是我印象最深刻的课本之一。为什么“印象深刻”？最主要一点就是把逻辑这个看上去枯燥无比、很容易令人生畏......
(3回应)
形式推理 ( 全部 )
2019-05-12 07:01:11
在开始谈论【定理】之前，感觉对【定义】的讨论尚犹未尽，故再多说几句。因为学习、理解【定义】是我们学习任何知识的基本任务之一，透彻理解【定义】的概念，基本构成和结构，【定义】所使用的语言，是十分重要的。 按照我们上篇笔记的说法，所谓【定义】就是概念迭代的过程：从一个较大的、普遍认知的、被认为是已经熟悉......
(3回应)
2018-10-12 10:02:44
学习逻辑是为了应用。学逻辑对我们的好处之一就是看问题时更加条理化了。但并不是说不学逻辑我们考虑问题就没有逻辑，逻辑其实是人类思考时的模式，每个人都有自己的思考、推断的模式。学了逻辑之后，我们其实是把这种潜在的下意识的推断模式明确化了。那么作为应用，特别是学习了符号逻辑，就是做数学中的证明题了。中学数......
(2回应)
符号逻辑入门 ( 全部 )
2022-10-29 07:16:53
大多数逻辑教科书只介绍五种常见逻辑连接符，而我们在上篇笔记看到，如果参加逻辑运算的对象有两个，那么最多可能有十六种运算。下面，我们就来仔细分析一下这十六种运算的具体细节。 首先，在运算种类上，我们可以按照参加运算的运算对象——通常称作「项」(term)——的数量进行分类。当参加运算的项的数量为一时，我们称......
2022-10-27 18:48:41
2019-12-02 04:58:54
2019-12-02 00:41:57
在展开新内容之前，需要再确认我们对一些术语的定义： 一、推理 (reasoning)：推理是一个「过程」，这个过程有「输入」，有「输出」。输入是一些已知为真的命题和一个待定真假的命题，输出则是那个输入时未知真假、但现在已确定真假的命题，因此推理的过程就是求真的过程，从某种意义上，推理可以看做是算法的概念。 二、论......
2019-12-01 01:17:55
从本篇开始，我们进入Gamut第四章的学习。和前两章「命题逻辑」和「谓词逻辑」相比较，我们开始跳脱单个句子的范围，研究多个逻辑句之间的关系。 本章的构成是这样的： 1. 论证与论证模式 2. 推演的句法和语义侧面 3. 自然演绎推理：推演的句法方法 4. 可靠性与完备性 第1节将继续我们在第一章开头的讨论：论证与论证模式概......
(2回应)
2018-11-15 13:51:24
2018-11-14 05:00:15
2018-11-01 08:17:18
2018-10-14 00:24:31
