2018-10-09 07:34:51
来自: 赛义甫(大道无门,千差有路)
逻辑学,有着太多太多的有趣话题,进入逻辑学的世界到处都是宝藏,至少于我来说是如此。我就像是一个贪财的“盗墓者”,这个想拿那个也想要只恨我的手太少拿不动。近代逻辑学,我们迄今为止所接触到的不过是沧海之之一粟,只限于弗雷格系统中最初级的一点皮毛。我们还没有涉及其它逻辑学传统,没有希尔伯特的形式主义传统,没有布劳威尔、海廷、维尔的直觉主义传统,更没有皮考特-布尔-皮尔斯-施罗德-洛文海姆-司寇伦逻辑,没有哥德尔-埃尔布朗-塔尔斯基。就算是弗雷格系统,我们也从未谈到皮亚诺、戴德金,更没有讨论《数学原理》。
对哥德尔定理,我们只是人云亦云,真的不知道发生了什么。不知道为什么哥德尔定理后出现了根岑、塔尔斯基,不知道哥德尔定理之后希尔伯特方案的真正命运,其实它还活着,就在我们身边。
20世纪20年代-30年代,我们只知道中国共产党诞生,我们只知道北伐,我们只知道抗日,那个年代是我们祖国灾难深重的年代。但是在西方,经过19世纪末20世纪初的数学危机大地震后,开始孕育和产生了影响世界百年的学术成果,这就是经数学、哲学、逻辑学到计算科学的学术革命。这个革命被二战打断,但是战后以不可遏制的力量重新燃起,终于在1960-1970年代形成了影响我们现在生活方方面面的信息科学各个分支。感觉那个年代,我们的祖国和西方世界就像是两个星球的世界。现在,世界终于是平的了,我们现在学习逻辑学,可以说是对历史欠账的部分偿还,中国人在学术方面没有创新,是因为我们还没有还清科学上这笔巨大的历史债务。
我们好像到了世界末日,太焦虑,太现实,急着把手里哪怕一点点资产拿去变现,变现成明晃晃、金灿灿的东西,大家都在奔跑,唯恐落后;但是现在,我们需要肯站住、坐下来的人。
希尔伯特旅店客满后,如果不调整房间,新来的无穷多的旅客能住下还是不能住下?依据排中律其中必有一真。
如果不调整房间新来的旅客也能住下,那么新来的旅客住在客满旅店的什么位置?如果不调整房间,新来的旅客不能住下,那么就是旅店新来旅客时希尔伯特旅店房间数与旅客数不一样多、不同势。哪个是真?如果不能确定,那么希尔伯特旅店违反排中律。
如果只有旅店调整房间新来的旅客才能住下,这就等于有两个无穷集合原来不能一一对应、势不等,把其中一个集合的元素重新排列一下,这两个集合就可以元素一一对应、等势,同样,再调整房间还可以使两集合的势不相等。也就是两个势相等的集合也是势不等的集合。应该不符合同一律。
如果在希尔伯特旅店中集合元素没有与外部交换就可改变元素的量、集合的势。那么, 房间与旅客的势相等、势不相等是相反的判断不能同时成立,其中必有一假,希尔伯特旅店违反不矛盾律?
有一家拥有无穷多房间的旅店。房间的号码用尽了所有的自然数:1号,2号,3号,…至于无穷。现在客满了,又来了一位旅客,怎么办?服务员说:不要紧。1号房间的客人移到2号,2号客人移到3号,…于是,1号房间空出来了。原来的客人仍然各得其所。
更严重的事态出现了:来了无穷多的一行旅客!服务员却仍然指挥若定,妥善安排:老住户都按排到双号房间,1号到2号,2号到4号,3号到6号…所有的单号房间空出来了。新来的客人尽管和自然数一样多,仍能住得下。
赛老师,我想上数理逻辑这条贼船,嗯也就是想在国内考逻辑学的研究生。
但是最近找到的材料大都是教材(大多是从teach yourself logic上找的),我觉得数理逻辑这门学科好像更缺乏一本好的练习。
不知对习题或者教材有没有什么推荐的书籍?请原谅我这种伸手党的行为。
逻辑学通常是哲学系的必修课,也是数学和计算机科学的课程之一。我对国内情况不是很了解,无法给你具体的建议。最好先了解一下国内各大学哪些院校有这个专业,指导教师是谁,他/她的专业背景、研究方向,最近发表的论文以及对研究生的要求等。
就数理逻辑本身来说,有两个专业基础:数学、哲学,一个基本功:做证明题的能力。
而数学方面,分析、几何/拓扑、代数最好都有修过课,没有坚实的数学背景学习数理逻辑基本上是自虐,因为数理逻辑说穿了就是从哲学的高度对所有数学知识进行总结。至于习题,不知道你的背景,无法提出具体建议。但是本站笔记《数理逻辑如何入门》中推荐的《怎样证明数学题》可作为起点,将其中所有习题做一遍打下一个底子,培养自己做证明题的感觉。有了这个基础,随便找一本自己感觉舒服的数分、代数、几何教科书,将其中能做的证明题做一遍。此时做的时候尽量使自己的语言规范化,句型单纯化,尽量变成:设...则...,若...则...,当...使得...则有...,当且当,对所有...存在...。另外就是要熟悉集合论,能够把所有数学问题用集合论语言表述,方法是在读数学教科书时作者是如何用集合论语言表述的。有了这个基础,找一本《离散数学》的教科书,学习一下一阶逻辑的基本句法,然后把自己过去做过的证明题翻译成一阶语言,过一段时间再把一阶语言翻译成自然语言。而且这个练习随处可做,遇到任何数学教科书例题中的公理、定理和证明都翻译成一阶语言。能达到这个水平,你已经是登堂入室了。具体的推荐书籍可参考本站中相关资源。
谢谢赛老师的回复!今天尝试了一下您说的通过翻译数学教科书里的证明来练习的方法,感觉确实很实用,自己之前也完全没有想到。
我是经济学的本科生,数学基础肯定比不上绝大多数理科生,但也是有记过严谨的训练的,数分是有认真学过,实分析和复分析只懂得皮毛,代数学的也是线性代数偏重计算这样。另外我的语言能力比较好,英语和德语都已经到了比较纯熟的水平,希望能派上用场。
国内的大学,个人了解到的就是北大、武大和中山。北大和武大看起来考试都不容易,中山倒是容易,只考普通逻辑,但是……感觉隔着网线都能闻到腐败的气味。希望到十二月之前能准备充分,考上北大吧。
最近把逻辑小站全翻了一遍,发现了很多有用的东西。再次感谢赛老师的指导,希望能跨上逻辑的大船,在某个学术的转角遇见赛老师。
数理逻辑的另一个基础就是哲学。哲学很重要甚至比数学更重要,因为哲学是设定话题,数学是研究话题的工具和对象。在数理逻辑中,所有哲学话题都可以转换成一阶语言的表达式。
基础是亚里士多德、斯多亚学派、康德、胡塞尔和分析哲学,近代的三大流派:逻辑主义、形式主义和直觉主义(三个学派名称后面跟着一长串人名,这里省略),因为数理逻辑从来不是一个独立的学科,是由三个相互关联、重叠的学科构成:数学基础,古典的是集合论,现代的是范畴论;数学哲学(又称数理哲学),对数学基础问题的哲学讨论(三大流派);数理逻辑,对数学基础、数学哲学问题的形式化描述,关注语言、推理模式。
另外,还要看专业的选取,集合论,关注的数学基础,但与之竞争的范畴论;模型论,是数理逻辑的核心内容;证明论和递归论,则靠近理论计算机科学。
如果你有阅读英语和德语的能力,那教科书一定要读原版。国内教科书当然也有好的但需要有沙里淘金的能力,读原著省去了这个麻烦。
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