小站活动日志

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转载《数学百年回顾·龚昇》
本文引自龚昇《微积分五讲》第一部分《回顾中学数学》 1. 百年前的讲演 20 世纪已经过去,这是一个伟大的世纪。在这个世纪,数学得到了前所未有的迅猛发展。在这个世纪即将来临时,1900 年 8 月 5 日,法国数学家希尔伯 特(David Hilb...

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【论证与推演】论证与论证模式(3)
在给出比较形式化的定义之前,我们先来了解一下【语义有效】(semantically valid)的概念。 首先,正如我们用真假作为句子命题的真值一样,我们用「有效」和「无效」表示一个论证模式的「值」。在一个论证(φ1,..,φn)/ψ中,当前提(φ...

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【论证与推演】论证与论证模式(2)
在展开新内容之前,需要再确认我们对一些术语的定义: 一、推理 (reasoning):推理是一个「过程」,这个过程有「输入」,有「输出」。输入是一些已知为真的命题和一个未知真假的命题,输出则是那个输入时未确定真假、但现在已经真假的...

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【论证与推演】论证与论证模式(1)
从本篇开始,我们进入Gamut第四章的学习。和前两章「命题逻辑」和「谓词逻辑」相比较,我们开始跳脱单个句子的范围,研究多个逻辑句之间的关系。 本章的构成是这样的: 1. 论证与论证模式 2. 推演的句法和语义侧面 3. 自然演绎推理:...

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【数学基础】:各种各样的数
我在《能否通过离散数学学习数理逻辑》曾经提到:数理逻辑源自于数学哲学的几个根本问题:数是什么?数的本质是什么?如何表达关于「数」的概念、命题和理论? 本篇笔记就来谈谈这个问题。方法和上一篇一样,一次只谈一个小问题。不过...

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线性代数的本质:向量篇
机器学习,本质上是数学理论的再应用。其中,线性代数不但是基础,而且许多内容直接就是线性代数的内容。本笔记的内容,根据https://www.3blue1brown.com/中,Essence of Linear Algebra的视频改编而成。由于大量的图片(未来将逐渐改...

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能否通过离散数学学习数理逻辑?
数理逻辑公认的比较难学。但原因却不在于这门知识本身有多高深,而是有两个更本质的原因:第一,在我们以往从小学、中学到大学的所有知识积累中,很少有关于逻辑与数学二者相关性的训练,更没有数学与哲学相关性的训练,所以在这方面...

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Richard Hodel:《数理逻辑导论》中推荐的参考书
Richard Hodel:《数理逻辑导论》中推荐的参考书 本书的末尾,给出了一份数理逻辑的参考书和阅读清单,个人觉得很有代表性,基本上覆盖了本书的主要话题并列出了关于同一话题的各家之言。现将这个书单开列如下: 【数理逻辑全般】: ...

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【数理逻辑如何入门】:数理逻辑中的语言学入门(2.2) —— 【元语言】例示和类型
上篇笔记我们谈了三个相关的概念: 1. meta关系 2.【meta关系】与【元】的关系 3. 初步认识了【元语言】的概念 本篇笔记的话题将集中在【元语言】本身,通过一些实例展示更好地从感性认识上理解【元语言】的概念,然后讨论【元语言】...

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转帖:弗雷格与希尔伯特的几何学基础之争 作者:钱立卿
弗雷格与希尔伯特的几何学基础之争 ——兼论胡塞尔对几何学起源的分析 作者:钱立卿 来源:《世界哲学》2015年第2期 引自:搜狐网 导言 康德在《纯粹理性批判》开篇就谈到了算术与几何命题的先天综合特征,尤其对于几何学来说,其综合...

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【数理逻辑如何入门】:数理逻辑中的语言学入门(2.1) —— 【元语言】的概念
从本篇笔记开始,我们将系统地谈谈【元语言】以及和【元语言】相关的概念。我在上篇笔记中谈到,【元语言】是一个具有超高难度的话题,不容易说清楚,迄今我没有发现哪本教科书对元语言有完整详细的阐述。而在关于【元逻辑】(metalogi...

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Richard Hodel:《数理逻辑导论·1.1 概览》
本书第一章《背景》包含8个小节 1.1 数理逻辑概览 1.2 归纳法 1.3 形式系统 1.4 集合论、函数、关系 1.5 可数集与不可数集 1.6 公理系统 1.7 可判定性与可计算性 1.8 递归函数与递归关系 本篇笔记是1.1小节的归纳和整理,没有过多我...

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形式推理——数学证明:关于【定义】和数学语言的那些事
在开始谈论【定理】之前,感觉对【定义】的讨论尚犹未尽,故再多说几句。因为学习、理解定义是我们学习任何知识的基本任务之一,透彻理解定义的概念,基本构成和结构,数学定义所使用的语言,是十分重要的。 按照我们上篇笔记的说法,...

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【数理逻辑如何入门】:再聊形式系统
【数理逻辑如何入门】:再聊形式系统 在前面几篇笔记中,我们花了大量篇幅讨论【公理系统】和【形式系统】。所谓【公理系统】其实就是某一数学分支中的所有概念、定义、公理、定理以及证明,一言以蔽之,就是这个数学分支的理论。 如...

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交并集公理——关于“一”的哲学(上)
汉字中的“一”字,可以说是笔画最简单的汉字。和西方的用拉丁字母组成的数词相比,这个看上去像是横躺着的阿拉伯数字“1”,却充满了古代中国人所寄托的哲学情怀。先看看下面一段文字: “惟初太始,道立于一,造分天地,化成萬物” ...

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【数学基础】:从头谈起
【数学基础】—— Foundations of Mathematics,是一门非常独特的学科,因为这门学科横跨数学、哲学、逻辑,是一门非典型的数学分支。为了介绍这门学科,用传统的方法,例如教科书、读书笔记等单向方法很难使受众理解其本质,因此从本...

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【数理逻辑如何入门】:从一本新书看如何学习数理逻辑
本来这篇笔记的内容是关于元语言和meta-概念族的讨论,但最近购入一本新书,使我稍稍改变主意,将这个话题延后,利用本篇笔记结合这本新书谈谈学习数理逻辑的一些方法和相关值得注意的问题。 首先,我毫无保留地推荐Richard Hodel的《...

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Richard Hodel: An Introduction to Mathematical Logic《数理逻辑导论·前言》
Richard Hodel: An Introduction to Mathematical Logic 前言 本书可用于数理逻辑和递归论的各种课程。尽管我写作时心目中最主要的对象是数学专业,但由于书中的重点是算法和论证形式的有效性,因此也适用于计算机科学和哲学的学生。 ...

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《通往逻辑、数学和编程的Haskell之路》—— 一阶逻辑的形式和意义(3)
我们上篇笔记的目的是熟悉五大逻辑连接符如何用Haskell定义和表示,下面再简单总结一下(假定你已经进入GHCi的repl环境,并成功:load TAMO.hs): 否定(非): not : : Bool -> Bool not True = False not False = True 合取(与):...
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