【数理逻辑如何入门】：能否通过离散数学学习数理逻辑？

【为什么数理逻辑被认为非常难学，究竟难在什么地方？有没有什么更便捷的方法？】
数理逻辑公认比较难学，但原因却不在于这门知识本身有多高深，而是有两个更本质的原因：第一，在我们以往从小学、中学到大学的所有知识积累中，很少有关于逻辑与数学二者相关性的训练（初等几何证明可能给我们一些感性的经验），更没有数学与哲学相关性的训练，在这方面，我们的知识储备基本是0；第二、数理逻辑，实际上是对从小学到大学所有数学知识的高度概括和抽象。这个抽象有两个方面：一、数学知识的形式化：以集合论为中心的关于数学结构的理论；所有数学知识基本上都统一在几个关键词上：集合、关系、函数、代数结构。二、数学语言、亦即表述数学内容的语言,本质上就是翻译成半自然语言的一阶语言。这种语言，可以很方便地再返译回一阶语言。而一阶语言是高度形式化的语言，亦即一阶语言本身亦可以被定义为某种数学结构。这两个特点，决定了数理逻辑在某种意义上比常规的数学分支更抽象，概念上的扩展并不是像其它数学分支那样线性延伸，而是维度上的扩张，从个体到集合再到集合的集合，表现在形式系统的表述力和演绎力的「阶」的扩张；所有数学分支内容、无论分析、代数、几何都化作对数学命题的句法和语义的研究。而研究方法对我们来说是陌生的。正如本栏目公告栏中所述：「数理逻辑所研究的最本质主题有两个：形式系统的表述能力(the expressive power）和形式证明系统的演绎能力(the deductive power)」。
从现实的角度看，数理逻辑在一般大学课程中属于数学系本科高年级课程或数学、哲学、语言学研究生课程，因此从本质上来说，你没有专业的数学训练，直接进入数理逻辑的学习基本上就是「自虐」。如果你不明白我的意思，随便找一本含有「数理逻辑」作为标题的教科书看看就知道了。数理逻辑的知识能不能更接地气、让一般人更容易接近一点？不知道！尽管本人正在不自量力地试图做一点努力，但是从数理逻辑知识的自然属性来说，很难！数理逻辑本质上就是关于数学的哲学。我们知道，哲学是个大学问，没有丰富人生阅历和经验，你的哲学学习充其量只是引经据典地背诵一些先人的语录、会说一些大众根本听不懂的名词、术语显示你的知识层次「很高」而已。其实，现代哲学已经高度专业化，在数学领域，就是数学哲学，或称数理哲学，但是你可能不知道，数学哲学和数理逻辑基本上是一个知识体的两个侧面：数学基础——关于数学的本质的探讨——这门学问的一表一里。既然是对所有数学知识的高度哲学化的抽象，你如果没有其它数学知识作为你数学的「阅历和经验」，那么就像上面所说，数理逻辑对你来说充其量只是一堆推理公式和前人所做的结论而已。
现实中学习数理逻辑的另一大困难是很难找到适合的教科书。我们看到的教科书，大部分都在使用我们看不懂的语言，虽然语言的类型仍然属于中文。读这样教科书这就像不懂原子能发电的人在读一份核电站工作人员写的的实验技术报告。当然可以选择英语教科书，且选择余地大，但并非所有人都可及，大部分人还是得依赖那些要么根本看不懂的国内原著、要么忍受书中句子似通非通、根本不符合中文语法的翻译作品。
那怎么办呢？以我个人的经验，并考虑到国内的现实，最直接但未必放之四海的办法是通过《离散数学》的教科书学习。这虽然不是最好的方法、并且有很大的缺陷，但是比起读国内那些打着「符号逻辑」、「数理逻辑」标题的书来，可能更方便、有效。理由如下：
1. 学习离散数学的门槛，远比数理逻辑要低很多，通常是大一下或大二上的课程。其中、命题逻辑和谓词逻辑是离散数学的标配。因此从学习者角度看，从离散数学开始学习逻辑应当和用一本标有「符号逻辑」、「数理逻辑」的教科书学习没有实质区别。当然，离散数学中关于逻辑的内容，和标准数理逻辑中的内容还是有很大的差异，这个后面会谈到。
2. 离散数学是学习数理逻辑的必要充分条件。虽然离散数学本身并不是一个数学分支，包含了多个相互没有逻辑关系的数学分支，但是数理逻辑所使用的工具全部来自离散数学。其中有：数论、逻辑、集合论、算法、数据结构（表、树、图）、代数结构、图论、计数，更重要的，离散数学包含了关于数学证明的理论和实践，这些内容却是学习数理逻辑学习的先决条件。常言道：工欲善其事必先利其器，如果说数理逻辑是「事」，那离散数学就是「器」。没有坚实的离散数学基础，数理逻辑的学习定不会走太远。
3. 离散数学的教科书，无论中文还是英文，选择余地远比数理逻辑大得多。选择余地大意味着你更容易找一本最适合你的书。当然这并不意味着任何一本离散数学教科书都可以当做数理逻辑的教材！选择的基准是：一定要符合数理逻辑的知识框架。关于这一点我们在后面会专门讨论。
4. 离散数学的学习，可以在某种程度上作为学习逻辑的入门。国内的逻辑学课程被分类为「文科」类的「普通逻辑」和离散数学中包含的所谓「数理逻辑」（其实是符号逻辑和逻辑代数入门）。由于众所周知的原因，大部分文科教科书或多或少地掺杂了官方意识形态的内容。对这些内容本身这里不做置评，但在许多方面这些内容或者与主题关系不大，或者干扰对主题的理解，普通逻辑也不例外。大部分「普通逻辑」的教科书都混入了不必要的类哲学甚至伪哲学的内容，这就很容易误导对逻辑本身的学习。而「离散数学」是数学课程，没有和逻辑学无关的内容，学到的逻辑知识就比较单纯。当然，缺点就是，第一、让初学者以为学了离散数学中的符号逻辑和逻辑代数就算是学了「数理逻辑」，这是明显的误导；第二、逻辑是纯粹的符号运算，另一种代数运算，这种形式的逻辑，舍弃了大部分更重要的逻辑学的精髓，例如论证有效性、形式系统、可定义性、一致性、完整性等，因此读者所见仅仅是符号序列的各种形式变换，而对这些变换背后的意义完全无知。虽然有这样那样的缺点，但是从离散数学入门学习逻辑仍然不失可选择的方法之一。最大的益处就是——这种益处也许在你对逻辑学有了一个全盘的认识之后才能体会——得到一种洞见：逻辑学的本质不是思维，而是代数——或者说是逻辑推理的外壳——论证的形式化。命题逻辑的本质是连接符的语义，谓词逻辑的本质是量化理论。而逻辑学的中心内容有两个：第一、语言，第二、演算(calculus)。语言，是一套形式系统，内容包含了句法和语义的研究；演算包括了「演」和「算」——「演绎」，即「数学证明」体系的可定义性、一致性、完整性，「算法」，即「数学计算」的可能性、复杂性和可确认性；「演算」的具体实例分别称作「推论」(inference)和「推导」(derivation)。这些只有通过包括离散数学在内的通盘数学知识的学习才能有认识。
因此，对于证明和计算这两大数学活动的掌握，单靠离散数学的公式是远远不够的，需要更宽广的数学训练。最理想的是在数学分析、代数、几何方面的都有一定的知识，且占比比较均衡。
【如果用离散数学的教科书学习数理逻辑，这样的学习路径我能走多远？】
上面说了，离散数学并非一个独立完整的数学分支，而是各个数学分支的大拼盘。因此要想从离散数学教科书开始入门，首先要知道数理逻辑作为知识体系的基本构造、基本构成和变成今天这个模样的原因。这里就专门谈谈这个问题：
首先，数理逻辑源自于数学哲学的几个根本问题：数是什么？数的本质是什么？如何表达关于「数」的概念、命题和理论。关于这一点，对我们大部分人来说，虽然没有从哲学角度考虑过，但是对于「数」的概念都不陌生。从自然数、有理数、实数，我们当然有相当的实践经验。而作为所有数系的基础，自然数是我们最熟悉的。而数学哲学在探讨关于「数」的本质时自然也对自然数予以最大的关注和研究。从我们的过去小学、中学的学习经验来看，对包括自然数在内的数系的掌握包括两个方面：计算技能的培养，和运算规律的理解。前者，我们通过加减乘除，可以完成非常复杂的算术运算；后者，通过各种代数关系，更深刻理解的运算的基本规律。前者，称作「算术」(arithmetic)，后者，称作「代数」(algebra)。从我们过去的经验来看，代数是对算术的抽象。什么是「抽象」？「抽象」首先是一个过程，它将具有同样性质的对象、事物归成一个类(class)，然后命名。第二，抽象可以看做是这个过程产生的结果，例如经过这个过程产生的这个类，以及相应的名称。在算术到代数的演化这个例子中，我们讨论的对象是自然数，所以，自然数就是所有具有自然数性质的数的类，它的名称就叫做「自然数」。因此我们可以用一个符号代表自然数的类，例如N，用其它符号代表N这个类中任意一个成员，例如a。有了这样的符号、名称，我们就可以将小学数学课本中用自然语言归纳的运算规律以符号的形式表达出来。例如：小学学习长方形面积时，我们说
长方形面积 = 长 x 宽
这是用自然语言对长方形求面积的描述，有了符号，我们就可以说：
对于自然数N中的任意两个成员a和b，其中，a是长方形的长，b是长方形的宽，存在长方形面积A，使得
A = ab
由此可以看到，对同样的小学算术问题，我们不但可以将具体的运算数字化为符号，就连所叙述的语言也变得规范化、标准化——更接近一阶语言。这就是抽象。因此，抽象在这里的意思就是：
1. 得到或建立(construct)具有共同性质（属性：property）的原子个体(atomic individual)，例如，1，3，5，6，19等，建立一个有限的(finite)、或无限(infinite)的类(class)；
2. 命名(naming)：用一套与描述对象完全不同的符号系统对对象的类、对象的个体命名；
3. 建立关于这个对象、类的命题；例如上面的A=ab就可以看做是一个命题；
4. 从旧命题推导新命题。例如：
旧命题
a = b，其中a、b都是自然数；
m是自然数
——————————
推理 a + m = b + m
推理的结果称作【定理】，推理的过程叫做【证明】。
根据上面的讨论，我们得知，如果要通过离散数学开始学习数理逻辑，第一个要学习的内容就是关于「数」的本质的讨论，特别是关于自然数的讨论。但是这个讨论并非是重复我们中小学课本的内容，而是从一个更高的视角——抽象、和数学语言的形式化的角度讨论。
对这个问题的讨论，可以在三个数学学科中找到：第一、集合论，集合是自然数的定义语言；关于自然数的公理，如何生成自然数；第二、数论，自然数的性质，例如算术公理，包括罗宾逊的Q算术公理和扩展的皮亚诺算术公理；第三、离散数学中的命题逻辑和谓词逻辑中逻辑演算的规则，这是关于数学语言的形式化、推理的格式化的讨论。
在数理逻辑中，经常会出现关于「对象语言」、「元语言的」的讨论。实际上，数理逻辑本身，就是一种语言，它是所有其他数学分支的【元语言】，这个元语言分两大部分：数学结构的语言：这就是【代数系统】或称「近世代数」或「抽象代数」，表述这个数学结构的语言：一阶语言，这个语言所使用的主要工具就是：关系、函数、集合。而【代数系统】、【关系】、【函数】、【集合】是离散数学的基本内容，掌握了这些内容，就可以用数学的元语言描述任何以结构——代数结构所形式化的任何数学分支。
数学元语言的另一种形式是「图」(graph)，任何可以用状态迁移方式描述的过程都可以用图、以及它的形式化语言表述。
最后，也是最重要的，就是从理论上理解、用形式化一阶语言表述定义、定理和证明。特别是形式化证明的格式、语言、步骤和方法。
【数理逻辑中哪些内容超出离散数学的范围？】
1. 公理系统和形式系统的完整描述。关于公理系统和形式系统可参考《数理逻辑如何入门》系列。
关于形式系统的句法、语义研究，以及相关的概念、术语、定理。形式系统是数理逻辑研究的主要对象，而研究所使用的工具则全部是离散数学所提供的内容，包括集合论、关系、函数，以及形式语言理论。
2. 关于递归函数的研究。这个部分主要研究的是可计算性问题和计算复杂性问题。离散数学提供了一些基本概念，但是递归函数是一个相对独立的跨学科的话题，横跨数理逻辑和理论计算机科学。
关于形式系统的完整性、一致性、可证明性和可判定性问题。这是哥德尔定理的中心问题，离散数学对这些问题没有具体的工具，但是离散数学研究数学证明的证明方法，提供了研究上述问题的基础。
关于谓词逻辑，离散数学中的谓词逻辑部分，只是非常浅的入门，许多问题特别是量词的语义部分没有深入讨论。
3. 对各种逻辑系统的表达力问题，以及与此相关的语言问题，离散数学完全没有涉及。因为这个问题牵涉到数学哲学、特别是悖论问题，以及相关的解决方案，包括公理集合论和类型论，这些问题后来成为计算机科学的主要研究之一。
除上述列出的知识点外，数理逻辑还有许多领域，特别是证明论、集合论等内容都在离散数学的范围之外。
【离散数学与数理逻辑是什么关系？应当如何通过离散数学入门数理逻辑？】
本质上说，离散数学是一门工具型课程，换句话说，离散数学的内容可应用于多个数学分支，其基本原理就是上面所说，离散数学是描述其它数学分支【元语言】所使用的工具箱。有了这个工具箱，我们就可以为分析、几何、代数以及任何其它数学分支建立其相应的代数结构和表述这些结构的形式语言。正是在这个意义上，离散数学可作为数理逻辑的入门。但是相应的内容，和平行的数理逻辑内容或多或少有一些出入。
例如对命题逻辑的讨论，数理逻辑的教科书侧重于逻辑系统的语言学侧面，句法、语义、可证明性、可推导性、重言性，一致性、完整性等；离散数学的命题逻辑更强调其代数性质，例如公式间的等价、等值关系、非真值表的等价推导、公式的对偶性和范式等。所以，学习者在学习离散数学时，更多的是考虑逻辑公式的代数特征，如何对逻辑式进行类似代数推导的转换，很少考虑这些式子本身的构造和所代表的意义。而对于逻辑演算，也只注重于其形式——给出一堆没有实际背景只有代数意义的类似中学代数恒等式的公式。因此，这样的学习，对学习者来说，只学习了这些论证模式的形式化侧面，至于如何将这些公式运用到数学证明中，还需要超出离散数学范围的进一步学习。
因此通过离散数学学习数理逻辑，并非适合每一个人。什么样的人适合呢？大致上来说，没有学过逻辑学但有一定数学基础的人。所谓「有一定数学基础」是指至少有比较扎实的高中数学基础或以上。离散数学在逻辑入门部分，和「普通逻辑」大致类似，都是从陈述句作为命题以及命题真假开始。不过，之后的内容「普通逻辑」和离散数学则分道扬镳，前者走入叙事化，后者走入代数化，但实质精神相同。二者各有利弊，前者具有更多的人文背景，更容易理解接受，但是由于全部是自然语言，表述不精确不严格，无法形式化，亦即，无法形成完全统一不变的公式化的语言。这使得同一定义、定理、论证在不同的教科书、不同的教学环境以及不同的使用场景下表述完全不同；而离散数学，则完全脱离了实际背景，学习者所看到的只是一些类似中学代数中无需知道具体含义的字母，在一定的代数规则下进行着的各种不同的形式变换。与「普通逻辑」相反，离散数学因为使用了标准的符号系统，其所表述的定义、论证、定理的形式不会因场景不同而改变（不过目前逻辑符号的表示并未完全统一，在具体的符号使用上，仍然有一些技术上的细微差异）。
至于离散数学中逻辑以外的数学知识，则是学习数理逻辑的前提，通常出现在一般的数理逻辑教科书的第一章作为前提知识归纳复习。利用离散数学学习数理逻辑有一大好处，那就是：一开始就把逻辑当做另一个数学分支学习，而不是所谓的「思维的一般规律」，对离散数学的学习者来说，逻辑就是另一种代数，没有实际意义，逻辑的基本规律受到代数法则、定律支配，和所谓的「思维」毫无关系。在国内各种伪哲学盛行的情况下，这种学习虽然有缺点仍然非常有价值，避免了太多非逻辑的东西的入侵干扰，你学到的逻辑是逻辑本来的面目。
【「普通逻辑」好像被你说得一无是处，难道逻辑入门就不能用「普通逻辑」的教科书吗？】
国内文科类逻辑学教科书，大致分为两种：一种是国人所著的「普通逻辑」，这类书的特点就是大量掺杂了许多非逻辑的东西。由于这些内容和逻辑学混在一起，使得初学者分不清到底哪些是逻辑学的内容哪些不是。这种方法是传统逻辑的方法，因为自亚里士多德以后，逻辑向来是表述某一特定哲学理论的语言。这个传统由中世纪的经院哲学发扬光大，彼时的逻辑学是作为神学的附庸，是表述宗教理论、证明上帝存在的技术工具。这种哲学和逻辑学混合的传统被19世纪末20世纪初出现的符号逻辑所颠覆。但是，在政治领域，这个传统并未消失，相反更有所加强。例如从上世纪1930年代开始苏联对西方的逻辑学进行了大批判，在彻底摈弃了西方逻辑学的同时，建立了与官方哲学紧密相连的所谓新逻辑——一种从黑格尔辩证法出发经过改造的「辩证逻辑」。这个传统后来影响到建国后中国的逻辑体系建设，因此国内「普通逻辑」教科书实际上是前苏联哲学体系一部分。而在西方，19世纪末20世纪初，符号逻辑占据了逻辑学主要位置。这种逻辑的最大特点就是摈弃了混在逻辑中的神学哲学成分，使其成为和代数一样的符号运算符号变换的学问。19世纪末，许多学者，例如弗雷格、罗素等，将这种作为数学基础的「新逻辑」称作logistic，以区分传统的logic。但是，这种「新逻辑」的出现并没有使传统的与哲学混合在一起的逻辑退出历史舞台。在西方，随着以近代物理学为代表的科学的发展，哲学对科学的关心愈发强烈，这种关心表现在两个方面：第一，逻辑实证主义哲学的出现，第二，对于表述科学理论的语言精密性问题更加重视。反映在逻辑学上就是对真值问题研究，亦即，对「合成真」与「分析真」问题的研究。而另一方面，坚守传统、利用传统的逻辑作为某种哲学理念的表述形式仍然存在，特别是在前苏联。这种传统影响到国内就形成了两个并行的逻辑学：文科学习「普通逻辑」，坚持传统的马哲与逻辑的混合体制，理科通过离散数学学习符号逻辑的纯粹的「形式」侧面。
另一种逻辑学教科书是国外的翻译版，这类教科书现在大多来自欧美，比较古老的来自前苏联。但无论来自哪里，同样有着强烈的东西方意识形态的色彩，尤其是书中的许多例子，并非政治中立。站在纯学术角度，国外逻辑学教科书特别是近年来出版的，大都吸收了20世纪之后符号逻辑的思想，展现的是没有太多符号的符号逻辑的思想。就这一点来说要比国内普通逻辑的内容更为科学。与之对比，国内的普通逻辑教科书有些为了「与时俱进」生生在书中硬插入一些类似「符号逻辑」的内容，但是在基本思想上仍然是经院哲学的逻辑传统。相比之下，抛开翻译版本普遍存在的粗制滥造的问题，从逻辑学的基本精神的角度，国外版本相对比国内的「普通逻辑」更可取。
但是无论国内外的任何非符号逻辑教科书，都是无法达到逻辑学真正的精髓——研究推理的形式，而不是推理的内容。因此我个人的看法是，初学逻辑先不要考虑什么「批判性思维」、提高人的「推理能力」等认知方面的问题，这个期望对于初学逻辑学特别是一阶逻辑来说太沉重。现代逻辑学从精神上基本上等同于符号逻辑——脱哲学的代数化逻辑。从这个意义上，从离散数学入门学习逻辑虽然门槛要高一些，数学的味道更浓一些，但是至少你可以学到上面提到的逻辑学的精髓——形式化，因为在离散数学中，所谓逻辑就是和代数一样的一些无意义的符号进行的各种计算、组合、分解、变换。
那普通逻辑呢？难道就完全没有学习参考的价值吗？当然不是。「普通逻辑」仍然有存在的价值，至少，对那些对数学不感兴趣对符号敏感的人来说仍然是接近「逻辑学」的唯一途径。可以这样说，如果你对高中的数学还有印象、并且可以接受像中学代数那样的符号系统，逻辑入门阶段最理想的方式仍然是从离散数学中的「命题逻辑」起步。有了逻辑形式化的基础后，再去读一本「普通逻辑」，大致就有了判断力，哪些是逻辑学固有的内容，哪些不是。普通逻辑中有一些类似哲学的东西，在离散数学都可以找到被数学化的对应物，例如「概念」、「性质」、「关系」、「对应」等，只是普通逻辑的入门学习者不会有这样的觉悟。因此，没有离散数学的基础，只从「普通逻辑」开始学习，学习者的方向、目的和内容很容易被带偏。
要想真正理解数理逻辑，除了从离散数学起步，更重要是提高你的数学修养，这里推荐两本书：
《数学：确定性的丧失》
《数学悖论与三次数学危机》。
其中的关键，是深入理解数学与逻辑的关系——这就是我在本文一开头提到的、我们知识储备所欠缺的第一部分。我以前曾经说过，学习数学的真正目的，除了现实中的各种承诺（包括升学、得奖等）之外，对现代人的最大裨益就是提高人的理性思考习惯。做一道数学题，首先要知道给定的条件、参数、定义、定理，第二要明确知道所要得到的结果是什么；第三才是找到一种方法，如何从那些条件、参数、定义、定理到达希望达到的结果。如果把这些定式化，那就是所谓的「理性思考」。因此你的逻辑思维能力和数学紧密相关。上述两本书可以从历史和学术的角度展示数学与逻辑的关系。当然，还有许多更专业的一般性数学读物，如柯朗的《什么是数学：对思想和方法的基本研究》等。对数学基础、数学哲学和数理逻辑同时感兴趣的还可以参考罗素的《数理哲学导论》
【如果从离散数学开始学习，有哪些好的教科书可以选择？是不是要做题？应当做什么样的题？】
【作为数理逻辑学习的一部分，离散数学的那些内容最重要？】
选书的原则只有两个：第一、覆盖面，要覆盖上面所说的大部分或全部内容：证明方法、逻辑、集合、关系、函数、数论初步、数学语言、数的本质、归纳法，这是基本内容，如果有可能，最好有代数结构；其它可作为可选内容；第二、在有相同内容的情况下，你个人的偏好，这一点因人而异就不展开了。作为参考，这里列出两本教科书，内容方面如何见仁见智，只是在话题覆盖面上可以当做一个标准：
《离散数学及其应用》
《离散数学导学》
由于离散数学的书籍汗牛充栋，这里无法做具体推荐，可根据自己情况酌情选择。
习题：
做题是学习任何数学必经的一个环节，我自己的感觉是应当多做证明题，学完逻辑部分后，要学着将将证明题翻译成一阶语言，并且要形式化。这种形式大致分三部分：第一，预设条件，基本上就是证明题所给的的条件；第二、假设，假设(assumption)和预设(hypothesis)不同的是，预设是题中给出的条件，而假设是你为了证明自行设定的条件变量，或者对题中需要使用的概念临时命名；第三、是推导过程，这个过程每一步都要在右侧给出所依据的公理（假设、预设），如果你要使用在假设、预设中没有使用的定理，一定要加在预设中。如果你是程序员，就一定要想象你的证明就是一段程序，没有在假设、预设中出现的任何概念、定理、定义都属于非法字符。最后得出的结果就是定理。在定理后面加上一个黑方块：∎ 通常是表示证明完成的标志，就像一段程序后分号右括号一样表示程序文本结束。
需要掌握的内容：
1. 数学证明的理论和实践。数学证明的理论就是命题逻辑和谓词逻辑，以及对【定义】、【定理】、【证明】、【公理】这些基本概念的理解。更重要的是从实践中掌握做证明题的技巧，为此，除了标准的离散数学教科书外，应当有一本专门介绍做数学证明题的书籍。这里列出几本参考书
《怎样证明数学题》
《高等数学证明题500例解析》
《平面几何证明方法全书》
2. 命题逻辑、谓词逻辑和逻辑演算
3. 集合（包括可数集和不可数集的概念）、关系、函数：这部分的知识积累越多越全面越好，应当作为重点
4. 抽象代数入门，除了群、环、域的基本概念，重点有两个：结构的概念和同态/同构的概念
5. 简单的数论知识，算术公理，算术命题的一阶语言表述
6. 熟悉初等几何的内容，了解欧几里得《原本》的内容
7. 算法问题和可计算性
8. 形式语言自动机入门
9. 归纳法：需要深入掌握
有了扎实的离散数学基础，再回过头来重新从数理逻辑的角度审视这些内容，会有新的体会。有一点要注意：千万不要把逻辑当做不知所云的伪哲学去学。如果你学了些离散数学中的逻辑，但是在你谈论逻辑的语言中经常出现一些看上去高深莫测但其实你自己也不大懂得的术语时，说明你所学的逻辑已经被污染了——再说一遍，在离散数学中，逻辑就是另一种初等代数，没有什么「情怀」方面的东西。