【数理逻辑如何入门】:数学的元语言——集合

赛义甫 2020-07-12 05:55:13

赛义甫
2020-07-12 23:09:54 赛义甫 (大道无门,千差有路)

感觉有些问题没有说清楚,大部分内容重写。有些笔记发表后我会持续「审稿」,随时修改,有些是技术方面的错误,例如错字重字等,有些则是内容修改,对表达不充分的内容充实,对表达不确切的修改、重写、或删除。这个过程大概持续两个星期左右。
这不仅仅是本篇笔记,实际上大多数笔记都是如此。谢谢各位朋友支持。

赛义甫
2020-08-07 06:26:40 赛义甫 (大道无门,千差有路)

本篇笔记第三次大改,基本上等于重写,或者说是另一篇笔记。由于我自己对这个问题的认识也在不断深化,同时也形成了自己独特的观点。这些观点,在目前的所有教科书中都是隐含的,没有一个是明确提出。本篇笔记把这些观点明确化了。

赛义甫
2020-08-07 06:29:18 赛义甫 (大道无门,千差有路)

自己觉得这个话题——作为表达思想的集合语言、一阶语言需要好好地深入研究,我这里的讨论还是非常非常浅层次的。

ilygre
2020-09-20 21:13:28 ilygre

请问一阶语言和集合语言到底如何定义才能不犯循环定义的错误啊?赛老师可以讲讲吗?

赛义甫
2020-09-21 04:33:12 赛义甫 (大道无门,千差有路)

请问一阶语言和集合语言到底如何定义才能不犯循环定义的错误啊?
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对不起这是我的问题,我在上文中并没有明确「集合语言」和「一阶语言」这两个概念的确切含义。
我们可以这样对「语言」进行「大致的」分类:自然语言、形式语言。形式语言中,有一类非常重要的语言称作「一阶语言」。这个语言的特点有两个:1,少量的带语义的词汇,连接词和量词,大量的没有任何意义的非逻辑符号,这些符号到底是什么、有哪些没有任何定义。2. 不管这些符号代表什么,一阶语言基本词汇所指称的对象必须是单个个体的。因此「一阶语言」这个名称是对其它各种具体的形式语言的抽象,或者说「一阶语言」代表的是形式语言的概念。而「集合语言」则是「一阶语言」概念下的一个具体实例,也就是说,「集合语言」赋予那些非逻辑符号特定的意义。「一阶语言」这个概念下的另一个实例是「算术语言」。和「集合语言」一样,这个语言具备所有一阶语言的共性,同时具有算术语言独有的词汇。对这个问题我们会在将来的笔记中详谈。最后要指出的是,「集合」是无法定义的,如果「集合」真的能用数学的其它概念定义才会形成「循环定义」。不过你提的问题很好,你可以从中更深刻理解为什么集合不能定义只能描述。

赛义甫
2020-09-21 04:37:16 赛义甫 (大道无门,千差有路)

关于这个问题的详细讨论可参考Yuri Manin的《A Course in Mathematical Logic for Mathematicians》

赛义甫
2020-09-21 04:44:04 赛义甫 (大道无门,千差有路)

「一阶语言」和「集合语言」、「算术语言」的关系有些像OO编程中抽象类与继承类的关系。抽象类确定了这个类族中共同的性质和特征,而每个继承类除了保持抽象类的共性还具备该继承类特有的功能和特征。

ilygre
2020-09-24 01:38:35 ilygre

赛老师,我想问几个问题
1.用自然语言下的集合论定义一阶语言(语法和语义),再用一阶语言构造zfc,或者其它的公理化集合。最后我们可以在这个zfc里定义自然数,实数,甚至还可以定义一个zfc里的一阶逻辑。不知道我这个构造方法是否是正确的,可行的
2.我还听过一种说法,说是先用极为朴素的概念建立一个一阶语言的语法概念,然后用语法建立公理集合论,再用公理集合论去建立(更准确说是补充完整一节语言的语义概念)
3.问题1中使用的有悖论存在的朴素集合论作为所有一切的七点是否有“安全”?
多有打扰!

ilygre
2020-09-24 01:45:37 ilygre

赛老师,我想问几个问题
1.用自然语言下的朴素集合论定义一阶语言(语法和语义),再用一阶语言构造zfc,或者其它的公理化集合。最后我们可以在这个zfc里定义自然数,实数,甚至还可以定义一个zfc里的一阶逻辑。不知道我这个构造方法是否是正确的,可行的
2.我还听过一种说法,说是先用极为朴素的概念建立一个一阶语言的语法概念,然后用语法建立公理集合论,再用公理集合论去建立语义概念(更准确说是补充完整一节语言的语义概念)
3.问题1中使用的有悖论存在的朴素集合论作为所有一切的起点是否有“安全”?
多有打扰!

赛义甫
2020-12-17 23:51:48 赛义甫 (大道无门,千差有路)

本文开头部分又做了修改,使得一些概念、关系更加清晰。并第一次引入「元理论」和「元逻辑」的概念。

赛义甫
2020-12-17 23:55:17 赛义甫 (大道无门,千差有路)

这篇笔记之所以一改再改是因为我对这个问题的思考也在不断进化,一些模糊不清的思想、概念、关系在不断被重新审视、研究、条理化、系统化。