【数理逻辑如何入门】:数学的元语言——集合

赛义甫 2020-07-12 05:55:13

赛义甫
2020-07-12 23:09:54 赛义甫 (大道无门,千差有路)

感觉有些问题没有说清楚,大部分内容重写。有些笔记发表后我会持续「审稿」,随时修改,有些是技术方面的错误,例如错字重字等,有些则是内容修改,对表达不充分的内容充实,对表达不确切的修改、重写、或删除。这个过程大概持续两个星期左右。
这不仅仅是本篇笔记,实际上大多数笔记都是如此。谢谢各位朋友支持。

赛义甫
2020-08-07 06:26:40 赛义甫 (大道无门,千差有路)

本篇笔记第三次大改,基本上等于重写,或者说是另一篇笔记。由于我自己对这个问题的认识也在不断深化,同时也形成了自己独特的观点。这些观点,在目前的所有教科书中都是隐含的,没有一个是明确提出。本篇笔记把这些观点明确化了。

赛义甫
2020-08-07 06:29:18 赛义甫 (大道无门,千差有路)

自己觉得这个话题——作为表达思想的集合语言、一阶语言需要好好地深入研究,我这里的讨论还是非常非常浅层次的。

ilygre
2020-09-20 21:13:28 ilygre

请问一阶语言和集合语言到底如何定义才能不犯循环定义的错误啊?赛老师可以讲讲吗?

赛义甫
2020-09-21 04:33:12 赛义甫 (大道无门,千差有路)

请问一阶语言和集合语言到底如何定义才能不犯循环定义的错误啊?
————
对不起这是我的问题,我在上文中并没有明确「集合语言」和「一阶语言」这两个概念的确切含义。
我们可以这样对「语言」进行「大致的」分类:自然语言、形式语言。形式语言中,有一类非常重要的语言称作「一阶语言」。这个语言的特点有两个:1,少量的带语义的词汇,连接词和量词,大量的没有任何意义的非逻辑符号,这些符号到底是什么、有哪些没有任何定义。2. 不管这些符号代表什么,一阶语言基本词汇所指称的对象必须是单个个体的。因此「一阶语言」这个名称是对其它各种具体的形式语言的抽象,或者说「一阶语言」代表的是形式语言的概念。而「集合语言」则是「一阶语言」概念下的一个具体实例,也就是说,「集合语言」赋予那些非逻辑符号特定的意义。「一阶语言」这个概念下的另一个实例是「算术语言」。和「集合语言」一样,这个语言具备所有一阶语言的共性,同时具有算术语言独有的词汇。对这个问题我们会在将来的笔记中详谈。最后要指出的是,「集合」是无法定义的,如果「集合」真的能用数学的其它概念定义才会形成「循环定义」。不过你提的问题很好,你可以从中更深刻理解为什么集合不能定义只能描述。

赛义甫
2020-09-21 04:37:16 赛义甫 (大道无门,千差有路)

关于这个问题的详细讨论可参考Yuri Manin的《A Course in Mathematical Logic for Mathematicians》

赛义甫
2020-09-21 04:44:04 赛义甫 (大道无门,千差有路)

「一阶语言」和「集合语言」、「算术语言」的关系有些像OO编程中抽象类与继承类的关系。抽象类确定了这个类族中共同的性质和特征,而每个继承类除了保持抽象类的共性还具备该继承类特有的功能和特征。

ilygre
2020-09-24 01:38:35 ilygre

赛老师,我想问几个问题
1.用自然语言下的集合论定义一阶语言(语法和语义),再用一阶语言构造zfc,或者其它的公理化集合。最后我们可以在这个zfc里定义自然数,实数,甚至还可以定义一个zfc里的一阶逻辑。不知道我这个构造方法是否是正确的,可行的
2.我还听过一种说法,说是先用极为朴素的概念建立一个一阶语言的语法概念,然后用语法建立公理集合论,再用公理集合论去建立(更准确说是补充完整一节语言的语义概念)
3.问题1中使用的有悖论存在的朴素集合论作为所有一切的七点是否有“安全”?
多有打扰!

ilygre
2020-09-24 01:45:37 ilygre

赛老师,我想问几个问题
1.用自然语言下的朴素集合论定义一阶语言(语法和语义),再用一阶语言构造zfc,或者其它的公理化集合。最后我们可以在这个zfc里定义自然数,实数,甚至还可以定义一个zfc里的一阶逻辑。不知道我这个构造方法是否是正确的,可行的
2.我还听过一种说法,说是先用极为朴素的概念建立一个一阶语言的语法概念,然后用语法建立公理集合论,再用公理集合论去建立语义概念(更准确说是补充完整一节语言的语义概念)
3.问题1中使用的有悖论存在的朴素集合论作为所有一切的起点是否有“安全”?
多有打扰!

赛义甫
2020-12-17 23:51:48 赛义甫 (大道无门,千差有路)

本文开头部分又做了修改,使得一些概念、关系更加清晰。并第一次引入「元理论」和「元逻辑」的概念。

赛义甫
2020-12-17 23:55:17 赛义甫 (大道无门,千差有路)

这篇笔记之所以一改再改是因为我对这个问题的思考也在不断进化,一些模糊不清的思想、概念、关系在不断被重新审视、研究、条理化、系统化。

Simple
2021-06-06 21:17:51 Simple (Hello world...)

老师好,非常感恩您的分享,我仔细阅读,获益良多。

文中“概念1= {a,b,c,d}, 概念2 = {a,b,e}”的e是否应该c。

另外,尚有一处不明白,文中"回到「家庭」的例子,如果我们无需知道家庭成员的具体角色,只需知道这个家庭由谁多少人组成,那么集合足矣"。我个人主观上以为 "家庭 = {父亲,母亲,子女}"似乎是错误的。一个概念A如果用集合表示,那么集合里面的成员x似乎可以直接放到"x是A"的句子里面去检验,比如人={曹雪芹,张三,佟丽娅...},那么我们可以说,曹雪芹是人,张三是人,佟丽娅是人。但是我们却不能说父亲是家庭,母亲是家庭,子女是家庭,而只能说父亲是家庭的一员(组成部分)...也就是说,只能用元组表示,对吗

赛义甫
2021-06-22 07:17:45 赛义甫 (大道无门,千差有路)

@楼上
谢谢你的回应。第一个问题,其中的e并非错误,是强调表示概念1和概念2只是是「近义」不是「同义」,概念1和概念2的指称互有不重叠的状况。

下面重点谈谈你的第二个问题。这个问题非常有意义,甚至帮助我厘清了一些问题。首先,集合的名称并非一定要符合「元素名称是集合名称」这样的语法,因为集合名称在某种意义上是偶然的、任意的,属于语言学中的命名问题。例如,世界上所有国家组成联合国,我们可以把联合国看做是国家的集合,但是我们却不能用上述格式说:中国是联合国。因为「联合国」这个名称有大的偶然性,因为1945年成立的这个组织很有可能叫作别的什么名称,例如二战前的类似国际组织叫做「国际联盟」。再比如我春节回家时所带的行李,是由衣服、书籍、礼物、食品构成,但我却不能说「衣服是行李」,这也和集合名称的任意性有关。我可以对由衣服、书籍、礼物、食品构成的集合改成其它任何名称,甚至英文字母也无妨。正文中对「理性认识」的集合表达式也是如此:我们不能说「经验2是理性认识」。从这个逻辑出发,我在正文中的「家庭」那个例子看作集合也无妨。当然我在正文中也强调「家庭」更适合作为元组的实例。其实,这其中还有着微妙的语义上的差异。将「家庭」看作是集合,是以个体为单位,看作是元组则是真正以家庭为单位——将亲子这些元素看做是一个概念不可分割的组成部分。
回到「曹雪芹是人」这个例子,现在的问题是,「是人」这个短语是什么?按照逻辑学的定义,是属性 (property)。属性是对集合中元素内在性质的描述,而这个性质是由元素本身的性质决定。例如,偶数,是整数集合中一部分元素所具有的「可被2整除」的性质,这个性质没有偶然性,任意性,因为你无论如何也不可能人为将一个奇数「变通」定义、改造成为偶数。这样的性质,逻辑学、数学称作「属性」。一阶逻辑中属性的句法表达就是「谓词」。因此,只有属性才可适用于「曹雪芹是人」这种句型。

不过,在很多情况下属性表达和集合名称往往会重叠。「一群狼」,「狼」既是这群动物的集合名称,也是这群动物共有的属性。这时,你无论说「狼」是这群动物集合的名称还是属性都可以,因为此时集合的名称「恰好」和表达属性的词语重叠。而前面的例子、联合国、行李、理性认识、家庭则是属性与集合名称不重叠的例子。

进一步说,属性是生成、定义子集合的重要手段。集合论中的「分类公理」其实就是以属性划分子集合的描述。也就说,当一个集合中,有些元素具有属性ψ,有些没有。那么,具有ψ属性的元素的子集和不具有ψ属性的子集成为两个互斥(disjoint)的集合。这个过程叫做 specification,我现在还没有十分确切的中文对译,大致相当于「特定划分」、「分类」。「偶数」、「红楼梦的作者」都属于这种 specification,因此,「偶数」是「整数」集合中部分元素的属性、「红楼梦的作者」是「人」这个集合中部分元素的属性。当然,「人」本身既是属性的语言表达也是集合的名称。
总结:集合名称是偶然的,任意的,约定俗成的,属性则是集合中元素固有的、必然的、确定的。有时,集合名称与属性表示重叠,有时不重叠。

PS:当然有人会争辩说,「偶数」也是名称,这个名称也有偶然性。或许!但是「偶数」所代表的「被2整除」的性质确实不变的,确定的,因此你无论叫它「偶数」或是 even number 所指称的都是一个东西。不过这已经不是逻辑学问题而是语言学问题了。或许,语义学中的 reference 和 sense,也可以从这个视角分析。

总之,你提了一个很好的问题,让我想了很多,谢谢。

冰淇淋红茶无糖
2022-04-27 15:05:45 冰淇淋红茶无糖

请问,学习数理逻辑之前要先学逻辑学作为准备吗?