数理逻辑进阶——动机、目的和基本内容介绍

小站自改版以来，已经发表了许多属于初级内容的笔记、书评和教程。当然，这些内容大多偏重符号逻辑、数理逻辑以及逻辑的各种应用，对完全的初学者照顾不够。另一方面，对于那些有一定逻辑基础、特别是已经学过《离散数学》想进一步挑战高端数理逻辑、特别是近代或者最新成果的读者来说本站也没有适合的内容。所谓高端数理逻辑，是指对一阶逻辑的处理完全脱离了自然语言、采用形式化的符号语言，对逻辑本身的处理不再是基于直觉而是基于几个基本定理，最著名的就是完备性定理和一致性定理。同时，对逻辑的内容进一步细化，分为两大部分：一、形式语言的研究；二、证明的形式化研究；除此之外，许多数理逻辑的教科书还涉及了大量的数学、计算中的应用问题。在数学方面，公理集合论、特别是策梅洛-弗兰克尔(Zermelo-Fraenkel)集合论（简称ZF或ZFC集合论）、点集拓扑、抽象代数和范畴论经常成为讨论的重点；而在计算方面，重点是可计算性和计算复杂性，同时还包括了可计算函数的理论问题。因此，这里高端的意思就是，如果在数学、计算科学方面没有相应的知识储备，直接挑战这类数理逻辑书籍困难很大。因此这类书籍在国外所面向的读者大部分是数学专业、计算机专业的高年级本科或硕士研究生或博士研究生。这样看来，制约挑战这类高端数理逻辑书籍的并不是数理逻辑知识本身，而是相应的数学素养。
同时，在数理逻辑的高端，每个专题开始细分，逻辑语义部分和模态逻辑部分开始成为模型论的研究对象，而一阶逻辑语言的句法和形式论证的句法部分，则成为证明论和递归论的内容；而证明论的基本思想后来又成为类型论和范畴论的基础和对应学科，集合论本身，也成为独立的学科，使得在数理逻辑名下的学科、话题、内容越来越多，而且还逐渐有越界和融合的趋势；类型论可以看做是逻辑和计算的共生产物；范畴逻辑可以看做是逻辑与数学的共生产物；而对形式语言的研究，则是横跨逻辑、数学、计算和语言学的多学科综合产物。而逻辑的另一分支——归纳逻辑，和概率统计联姻，产生出许多令人感兴趣的分支。
一句话，逻辑，深不可测。
开设本专栏的目的，是帮助那些正在挑战这些高端内容的朋友更容易理解学习的内容，使得学习曲线变得稍稍平缓一些。
和其它栏目不同的是，不再以一本特定的书籍为蓝本，而是以话题为中心，围绕话题介绍相关的书籍。还是那句话，有阅读英语能力的、尽量读原版。阅读能力稍稍差一些的有条件可双语对照，同时加强自己英语能力的提高。如果英语提高对你来说是远水解不了近渴的事情，那么这里唯一的建议就是：先尽量读一些数理逻辑的科普读物，对数理逻辑中的原始概念、发展线索、要解决的问题有一个宏观的了解，然后慢慢细化对学习课题的理解粒度。就像看俯瞰图，先在高空了解整个地貌，然后慢慢下沉，逐渐熟悉细节。
这个专栏目前以数理逻辑的三大板块为主：形式语言、公理化、结构，暂时不会涉及具体应用。对应用感兴趣的朋友可在【逻辑与计算】栏目找到逻辑在计算科学中应用。而对数学感兴趣的朋友可参考本栏目的“数学基础和数学哲学”专栏，尽管目前内容还很贫乏。有了上述内容之后，会逐步介绍四大分支：证明论（包括希尔伯特证明论和根岑证明论）、模型论、集合论和递归论，哥德尔定理和塔尔斯基的真值语义论。
本专栏参考的教科书全部是外版，没有国内版，原因并非是崇洋迷外，而是因本人的背景确实对国人著作不熟悉。而外版其实也有良莠不齐的现象。但这里的选书，绝对是精挑细选，保证是国外一流的、口碑非常好的教科书，有些是名家之作，有些是个人偏好。由于逻辑学对大多数国人来讲仍然是舶来品，还没有和中国的传统文化找到融合的接口，理性思维还没成为我们这个民族共有的理念，因此作为国家未来的年轻学子的你，如果通过逻辑的学习让科学、理性成为你生涯素养的一部分，那么国家幸甚、我们这个民族幸甚。