生成语法理论和形式科学——读《Linguistics and Formal Science：The Consequences of Analysis》（二）

关于公理化的大致思想在本系列笔记中曾多次提及，为了我们下面的讨论，再简要提示一下。
1 公理化方法(axiomatic method) 是一种组织、阐述和传承科学知识的科学方法；到了19世纪之后，公理化方法又有了一个新的使命：探究形式科学、如数学、逻辑学知识体系最本源最原始的基本要素是什么？这个基本要素从哲学的角度、应当符合下列条件：无法再用更下位的概念来定义；第二它的哲学基础应当是“安全”的，不会导致悖论、谬误、无定义等危害科学理论基础的概念；在逻辑上，它应当是完备的、一致的。
2 公理化方法的构成
首先，要确定研究对象中最原始的概念，所谓“最原始”，就是上述所说，无法再用更下位的概念定义，例如平面几何中点、直线等概念，数学中集合的概念；
第二，设定这些概念的基本关系，由于使用的是“原始概念”，因此概念之间的关系也无从知晓是否为真。但这并不重要，重要的是，如果我们“权且”认为它为真，那么就会从这些关于概念关系的描述中得到新的事实。对这些概念关系的描述，就构成了“定义”(definition)、公理(axiom)或公设(postulate)。
第三，如上所述，从定义/公理/公设出发，按照一定的逻辑步骤推导会自动得到新的事实：这个新事实的陈述，就构成了定理(theorem)，如果推导过程很复杂，在达到最终定理之前获得的辅助性新事实，对它的陈述就构成了引理(lemma)或推论(corollary)。
这样，从最简单的、看上去类似常识一样的基本概念和相应的定义/公理/公设，进而推导出定理；从新的定理和原始的公理出发，又会得到新的定理；从这些二次获得的定理再配合以前的定理、定义等又能推出新的事实；如此推演最后则可以建立整个知识体系。
有一点要说明，推演新事实并不等于“创新”，发现发明新的知识，而只是对既有知识的一次再整理而已。换句话说，公理化方法并不是知识创新的方法，而是科学化组织、表述知识体系的基本方法。当然，19世纪末的数学危机的确是由公理化方法引发的，而且由于这场危机，使得20世纪前半个世纪引发了人类历史上空前的科学知识大爆炸；最显著的就是信息科学诞生和爆发式成长。
4 形式语言和形式化 公理化的方法的目的就是精确、严格地表达科学知识的概念、概念之间的关系，这样就需要一种相应的语言作为描述工具。在现代这个工具就是一阶谓词逻辑语言。用这个语言，可以明确、精密、严格地阐述所要定义的任何概念、公理和定理。
上面提到，公理化方法的基本功能就是从已知的概念、定义、公理、定理出发，推导出新事实，这个过程，正是一阶逻辑中的论证(argument)过程。因此，逻辑推理是公理化方法使用的唯一工具。在确保逻辑体系完备、一致的前提下，用公理化方法建立的知识体系是可靠的，无谬误无悖论的体系。
用公理化方法建立知识体系是人类的梦想，但直到现在，尚无完全公理化的科学知识体系出现。就连数学也是如此，只能说尚在路上。为此20世纪的数学家、逻辑学家和哲学家们一直在为数学的本源寻找可靠的基础。在分析领域，一般认为自然数是知识的起点，但有些人认为可以从集合的概念定义自然数，因而在更大的范围内，数学家们正在企图以“集合”作为数学领域的“普遍语法”。从上世纪下半叶开始，一种新的数学概念：范畴，开始在更大的范围内试图一统网罗所有数学分支。
从现实来看，并不存在完全一阶逻辑化的数学，尽管在原则上可以做到。下面举一例可窥一斑：
∀ε(ϵ > 0 → ∃? (? > 0 ∧ ∀x (dxa < ? → d fxb < ε)))
这是什么？这就是用一阶语言对极限的形式化定义：
                
                
5 公理化和计算机科学
公理化运动的发展，不仅导致了数学逻辑学等相关学科的发展，而且最终催生了计算机科学。用任何一门程序设计语言，在某种意义上都是一个微型的公理化系统，尽管证明论的发展尚未发现一种确定性的方法保障程序设计的正确性。例如任何语言都必须有原生的数据类型(primitive data type)，原生的概念：关键字，和最基本的推理模式：顺序、条件、反复。一个程序所产生的结果可以被另一个程序所用；如此就可以由众多小程序最终建立巨大的软件体系。
基于上面的讨论，我们可以看到，公理化的基本要素就是三个：
1. 原始概念；2。概念间的关系（公设/定义）；3。逻辑推理（定理）。因此在溯究公理化的起源时，就不得不对其使用的方法——逻辑进行深入的探讨。
因此我们这篇笔记的内容就要先从亚里士多德的逻辑讲起。
对于没有逻辑基础的人，这里做个简单科普。
逻辑学研究的内容是正确推理的形式方法和基本原理；研究对象是论证(argument)。
所谓论证，从形式上看，就是一组句子，若干个（至少两个）肯定陈述句按顺序排列，最后一个句子称作“结论”（consequence），而“结论”前面所有的句子称作“前提”（premise）。如果从第一个句子的内容到倒数第二个句子的内容可以“合理”地推导出最后一个句子的内容，我们就说，这个推理是“有效的”（valid）。结论是有效的，则称作这个论证是“有效论证”。逻辑学研究的是：前提和结论之间是什么关系才能保证论证有效。
不过有效的论证并不保证这个论证就是“对的”。举个有效论证的例子：
有些房地产可以升值。
可以升值的都是好投资。
所以，有些房地产是好投资。
在这里逻辑推理没有问题，结论是从前两个前提推出来的，可是聪明的你一眼就会看出：未必！！
这说明，逻辑只能保证推理形式上不出问题，但对推理内容逻辑无能为力。
逻辑是一门古老的学问，世界上大致有三个对逻辑有研究的文明体系：古希腊、中国和印度。不过现代的逻辑体系直接继承了希腊传统，因此，对中印的逻辑传统我们可另开篇讨论。
希腊的逻辑体系，一般认为是由亚里士多德最终建立。对亚氏其人这里不做介绍，可以在网上找到相关的资料。
这里，对亚氏逻辑做一简要的介绍：
亚里士多德关于逻辑的观点集中在一本名为《工具论》(Organon)的著作中。除了《工具论》，在另一本书《形而上学》(Metaphysics)中逻辑是被当做工具阐述亚氏的哲学思想。
亚氏逻辑的基本要素：
1. 主词和谓词（subject and predicate）
2. 三段论（Syllogisms）
关于主词谓词，和通用的主语、谓语概念并不一致，尽管英语是同一词。原因有两个：亚氏时代，尚未出现现代意义上的语法体系，因此主语谓语的概念并不适合亚氏的时空背景。第二、亚氏逻辑中的主词谓词和现今的主语谓语，无论从内涵定义还是外延实例都不相同，使用现代意义上的主语谓语概念只能误导。另外，predicate作动词时原意就是：围绕/就...陈述，因此，1949年以前的中国，现今的日本，都将其译成“述语”。
在亚氏逻辑中，所谓主词，并不是语法概念，表示名词在句子中的地位，而是逻辑概念，表示单个的个体。如果不是个体，则主词前必须有量词修饰，在亚氏逻辑中所关心的量词有两个：所有，某些；
而谓词，是指对主词性状的陈述，这包括了现代意义上的动词短语、形容词短语等或者说除了主词之外的所有句子成分。
（未完待续）
【注】
间隔了这么长时间没有动笔一来是忙，二来在这期间想法又有些改变。最大的一点就是有一种感觉，与其堆砌一些在一般书籍很容易找到的史料如名人传记之类不如多谈一些更有思想性的东西。
第三，介绍欧氏几何原本和亚氏逻辑如何能将二者的关系理顺，使得它们看上去更像是一个有机的整体而不是两个互不相干的东西。同时，又看了一些书和论文，书目如下：
《The Examined Life: Readings from Western Philosophy from Plato to Kant》, edited by Stanley Rosen
《Euclid's Elements and the Axiomatic Method》by Ian Mueller
《Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics》(3E) by Howard Eves