逻辑写了新日记
【数学基础】对「什么是数」问题的再思考（一）
「什么是数？」的问题，对我来说是最难挑战性最大的问题。有过很多思考，但是都很碎片，无法形成一个一贯而统一的思想。而现代「数学分析」标准教科书中对这个问题很少有严肃认真的回答，所谓严格建立实数理论云云实际上是在后人为前...
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【逻辑史】读张家龙《数理逻辑发展史——从莱布尼茨到哥德尔》
最近将相当一部分经历放在了代数的学习——欣赏上，故对各种代数系统、包括逻辑代数、关系代数（其实是逻辑代数的发展）以及泛代数，以及抽象代数的一般理论，看了一些书，都是从史开始讲起。特别是作为逻辑代数的一部分关系代数，所...
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逻辑运算与集合运算的关系
当我们学习集合时，，会发现许多集合运算是由逻辑运算定义的，反之，谓词逻辑的量词语义需要集合作为工具才能定义。那么，逻辑运算与集合运算到底是什么关系呢？ 首先，我们已经知道，逻辑是关于演绎推理形式的学问，这门学问的特点是...
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【抽象代数】群的概念(2) —— 模式
【抽象代数】群的概念(2) —— 模式 上一篇，我们从数学的形式侧面初步讨论了群的概念。不过，这种讨论似乎没有涉及到「群」这个概念背后所要表达的思想。例如我们前面只是说，所谓群就是一个集合加上一个运算，运算要满足一些条件和...
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【抽象代数】再谈代数结构
本文基本上是我的个人日记文本《从零开始学习线性代数：浅谈代数结构》的修改版。最大的不同在于本文试图将数学结构与数学的逻辑基础相连，因此深度上或有所不同。 代数结构，是通过统一框架进行数学形式化尝试的结果之一。数学形式化...
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Susanne K. Langer《符号逻辑入门》
这是一本非常独特的逻辑学入门教材。它的独特性反映在下列几个方面： 1. 这本书非常「古老」，它的第一版出版时间是1936年，其时，符号逻辑还属于学术圈内非常高精尖的前端学科（想想哥德尔定理刚刚问世还没有几个人可以看懂）。而且...
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【数理逻辑如何入门】：集合
在上篇笔记我们谈到了数学的作用：描述和解决世界上存在的问题。这个描述，就是数学建模的过程，换句话说，就是把目标问题的自然语言陈述转换成数学语言陈述，在这里，数学的作用是代替自然语言，作为问题的描述媒介。这个过程，我们...
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【数理逻辑如何入门】：函数与谓词
理解了形式系统的概念，下一个问题就是：如何设计这个系统的语言？——这是该形式系统最主要的成分。首先，设计一个形式系统一定是有一定目的的。例如，设计一门程序设计语言。因此这个系统的语言结构就一定要事先考虑未来所要绑定的...
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【数理逻辑如何入门】从「离散数学」开始
在《能否通过离散数学学习数理逻辑？》中，我们深入探讨了从离散数学开始入门学习数理逻辑的可能性。不过，大部分人学习离散数学并非是为了学习数理逻辑，因此以学习数理逻辑为目的学习离散数学，其观念、视角、学习方法、内容选取就...
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Wolfgang Rautenberg：《数理逻辑简明教程·序·导论》
本篇介绍的内容是《Concise Introduction to Mathematical Logic》序中的第一自然段和导论全文。 介绍这个材料的理由是：序作者和教科书作者用了非常「精致」、简练和漂亮的语言，勾勒出了数理逻辑的概貌，对于数理逻辑的初学者来说不...
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Logic in the 1930s: Type Theory and Model Theory
作者：Georg Schiemer, Erich Reck 发表刊物：The Bulletin of Symbolic Logic 刊号：第19卷第4期 发表日期：2013年12月 论文标题：Logic in the 1930s: Type Theory and Model Theory 使用语言：英语 摘要翻译 在整个20世纪的逻辑史...
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转载《数学百年回顾·龚昇》
本文引自龚昇《微积分五讲》第一部分《回顾中学数学》 1. 百年前的讲演 20 世纪已经过去，这是一个伟大的世纪。在这个世纪，数学得到了前所未有的迅猛发展。在这个世纪即将来临时，1900 年 8 月 5 日，法国数学家希尔伯 特(David Hilb...
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【论证与推演】论证与论证模式(3)
在给出比较形式化的定义之前，我们先来了解一下【语义有效】(semantically valid)的概念。 首先，正如我们用真假作为句子命题的真值一样，我们用「有效」和「无效」表示一个论证模式的「值」。在一个论证(φ1,..,φn)/ψ中，当前提(φ...
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【论证与推演】论证与论证模式(2)
在展开新内容之前，需要再确认我们对一些术语的定义： 一、推理 (reasoning)：推理是一个「过程」，这个过程有「输入」，有「输出」。输入是一些已知为真的命题和一个未知真假的命题，输出则是那个输入时未确定真假、但现在已经真假的...
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【论证与推演】论证与论证模式(1)
从本篇开始，我们进入Gamut第四章的学习。和前两章「命题逻辑」和「谓词逻辑」相比较，我们开始跳脱单个句子的范围，研究多个逻辑句之间的关系。 本章的构成是这样的： 1. 论证与论证模式 2. 推演的句法和语义侧面 3. 自然演绎推理：...
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【数学基础】：各种各样的数
我在《能否通过离散数学学习数理逻辑》曾经提到：数理逻辑源自于数学哲学的几个根本问题：数是什么？数的本质是什么？如何表达关于「数」的概念、命题和理论？ 本篇笔记就来谈谈这个问题。方法和上一篇一样，一次只谈一个小问题。不过...
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线性代数的本质：向量篇
机器学习，本质上是数学理论的再应用。其中，线性代数不但是基础，而且许多内容直接就是线性代数的内容。本笔记的内容，根据https://www.3blue1brown.com/中，Essence of Linear Algebra的视频改编而成。由于大量的图片（未来将逐渐改...
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能否通过离散数学学习数理逻辑？
数理逻辑公认的比较难学。但原因却不在于这门知识本身有多高深，而是有两个更本质的原因：第一，在我们以往从小学、中学到大学的所有知识积累中，很少有关于逻辑与数学二者相关性的训练，更没有数学与哲学相关性的训练，所以在这方面...
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Richard Hodel：《数理逻辑导论》中推荐的参考书
Richard Hodel：《数理逻辑导论》中推荐的参考书 本书的末尾，给出了一份数理逻辑的参考书和阅读清单，个人觉得很有代表性，基本上覆盖了本书的主要话题并列出了关于同一话题的各家之言。现将这个书单开列如下： 【数理逻辑全般】： ...