辛几何讲义 - Shlomo Sternberg
Strongart:浅谈辛几何与辛流形(附:煙花不堪剪的评论)
最近学了一点辛几何,给大家谈几点初级想法,主要是侧重于辛流形的基本概念,解释一下什么是“Hamilton G-空间(M,ω,Φ)”,后者似乎是辛几何中经常出现的对象。
现代几何学的基本舞台是流形,但在研究一般流形时都默认读者已经了解线性空间,而这里辛流形用到的线行空间是带有辛结构的,这一点一般读者未必都熟悉,因此一般辛几何的入门书籍大都从辛线性空间开始介绍。所谓的辛线性空间,就是一般线性空间V上加一个辛结构ω,它被定义为V上的一个非退化反对称双线性形式,对此,可以类比所谓线性空间的正交结构,这里的辛结构则是把正交结构中的对称换成了反对称,类似的我们也可以定义辛向量空间下正交补的概念,只不过此时可能出现子空间W≤W⊥的情况,这样的子空间被称为迷向的(isotropic);假若W=W⊥,则子空间W称为Lagrange的。
辛向量空间(V,ω)上结构可以由辛基完全决定,所谓的辛基是指一组向量{e_1,…,e_d,f_1,…,f_d},它满足条件ω(e_i, f_j)=δ_ij,ω(e_i, e_j)=ω(f_i, f_j)=0. 任何辛向量空间内都有这样的辛基,因此总是偶数维的,同时任何2d维辛向量空间都同构与d个R^2上辛向量空间的直和。在此辛基下,V的Lagrange子空间均占据着一半的辛基,不妨就设为e_1,…,e_d,要是再添上另外的f_i项,那就只能称为是迷向子空间了。
把正交结构推广到一般流形上就得到一个黎曼结构,而把辛结构推广到流形上马马虎虎的还是叫辛结构。具体来说,假若流形M上带一个反对称的非退化闭二形式ω,那么(M,ω)就称为一个辛流形。对于辛流形我们有如下的典型性质:
1.偶数维:这是因为流形的维数就是切空间的维数,而切空间就是上面提到辛向量空间,因此一定是偶数维的。
2.可定向:这个是因为我们可以对ω做外积,得到它的体积形式ω^d,这里d=dim M/2.
3.若M是紧流形,偶数阶de Rham上同调群H^2i(M,R)(1≤i≤d)非平凡:ω^i就是H^2i(M,R)的非零元素。
4.切丛TM标准同构与余切丛T*M:具体来说,对任何x∈M,可由内积v→i(v)ω_x,v∈T_x(M)给出这里的对应关系,
5.辛结构ω在局部坐标可取为与C^d相同的标准形式ω=dx_1∧dy_1+…+dx_n∧dy_d,这个结论被称为Darboux定理。它说明同维数辛流形在局部上都是辛同胚的。由此可见,辛流形与Riemann流形的状况是完全不同的,在Riemann几何位于中心地位曲率概念在辛几何中是平凡的。
有人对此可能会有疑问,辛流形与Riemann流形的主要差别就是2-形式的对称与反对称,出现迷向的情况是可以理解的,但似乎不至于一下子让曲率消失掉。通过与国外学者交流,我明白了其中的奥妙,主要就是辛流形的概念中的微分形式ω是闭的,也就是说还附加一个微分方程dω=0,而在Riemann几何中这个微分方程就对应于曲率为零的条件,辛几何其实只是对应于Riemann几何中的一个特例而已。
由此可见,辛流形的条件还是相当苛刻的,即便是最常见的球面,一般还无法构成辛流形(n>2维球面的二阶上同调群平凡!)。然而,我们却又一大类特殊的辛流形,这就是一般光滑流形Q的余切丛T*Q,后者自然带有一个辛流形的结构。
假若π:T*Q→Q是一个自然投影,我们可以定义T*Q上的典型一形式α如下:对任何p∈Q
<α_p,v>=<p,dπ_p(v)>,v∈T_p(T*Q)
进而得到T*Q上的典型二形式:
ω=-dα
这样得到ω不仅是闭的,而且还是恰当的。假若一个辛流形上的辛形式ω都有这样的恰当形式,那么它就称为恰当辛流形。光滑流形的余切丛都可以被构造成恰当辛流形。
在余切丛T*Q内,Q的截面像构成T*Q的一个Lagrange辛子流形,即其切空间是T*Q的切空间的Lagrange子空间且继承了T*Q的辛结构的子流形。
下面来谈谈辛流形(M,ω)上的一些几何构造。先看所谓的辛向量场,它可以由D_X(ω)=0定义,此外还有对应于M上某个函数H的Hamilton向量场,它由i(X_H)ω=dH定义。通过Weil公式,D_X=di(X)+i(X)d可以证明Hamilton向量场都是辛向量场。
记(M,ω)上所有辛向量场的空间为S(M,ω),所有Hamilton向量场的空间为H(M,ω),我们有基本的正合列:
0→H^0(M;R)→C^∞(M)→S(M,ω)→H^1(M;R)→0
其中C^∞(M)→S(M,ω)是由函数f映射到它决定的Hamilton向量场H_f上的映射,当上同调群H^1(M;R)=0时,M上所有的辛向量场都是Hamilton向量场。
给定C^∞(M)内的两个函数f与g,我们还可以定义Poisson括号如下:
{f,g}=-ω(X_F,X_G)=i(X_F)dG=X_FG
由此给出C^∞(M)上的李代数结构,更准确的说法应该是Poisson代数。光滑函数空间具有Poisson代数的流形称为Poisson流形,它是比辛流形更加广泛的一类流形。
接下来看辛流形(M,ω)上的群作用,假设G是一个李群,M上的G-作用称为辛的,若它保持辛结构ω;G-作用称为Hamilton的,若它对应的向量场ξ是Hamilton的,同时它与G-作用还是可交换的,类似可定义G的李代数g在(M,ω)上的作用。这里的Hamilton作用可以具体表示为对任何ξ∈g,存在一个光滑函数Φ(ξ),使得ξ_M=X_(Φ(ξ)),即i(ξ_M)ω=dΦ(ξ),这里的ξ_M是ξ在流形M上由exp(-tξ)生成的向量场。
上面的映射ξ→Φ(ξ)可视为M到g*的映射,称为Hamilton作用G的力矩映射(moment map).在Hamilton作用下,力矩映射Φ:M→g*可以被确定到仅差一个常数。下面看力矩映射的两个特例:对于辛结构ω=-dα的恰当辛流形而言,其力矩映射Φ:M→g*可以直接定义为为<Φ,ξ>=<α,ξ_M>. 而对辛向量空间(V,ω)对李群G的辛表示而言,若任何ξ∈g在v∈V上有作用ξv,那么<Φ(v),w>=ω(w,ξv)/2,w∈V所给出的Φ:V=T_vV→ g*就是力矩映射。
这样我们终于可以解释什么是Hamilton G-空间(M,ω,Φ)了,就是指带力矩映射为Φ的Hamilton G-作用的辛流形(M,ω). 任意给定m∈M,可以证明力矩映射的核ker(dΦ)是所谓赋值映射的正交补,即由{ξ_M(m);ξ∈g}的组成的空间的补集,这里我们借助于ω的非退化性将TM与T*M等同。当G的作用可迁时,力矩映射的像就是g*上G的余伴随作用的一个单轨道,即Φ(M)=O,O=GΦ(m),m∈M. 进一步我们还有所谓的Kostant-Souriau定理,它是说任何余伴随轨道都有唯一不变辛形式使得单射O→g*是力矩映射,特别当G-作用可迁时,Φ覆盖整个轨道O,M上的辛形式可以由力矩映射从余伴随轨道O上拉回,因此是被力矩映射唯一决定的,这也就是力矩映射Φ在辛几何能与辛流形(M,ω)相提并论的原因了。
最后,简单提一下G=T时的一个结论,它被称为是环面作用的凸性定理:设(M,ω,Φ)是紧连通的Hamilton T-空间,T是有效作用在M上的环面,则力矩映射的像Φ(M)是维数等于dim(T)的多面体。在其证明中要用到了Morse理论的推广形式,主要是就由力矩映射诱导出来的函数的Morse-Bott函数,对此我就不再详细介绍了。
本文的主要参考书是Shlomo Sternberg的《辛几何讲义》,那本书后面还有Hamilton配边、线性化定理等内容,但却没有涉及到上同调,后者可以在Koszul的《辛几何引论》中得到补充。
评论:
2013-03-13 17:29:20 煙花不堪剪
你为什么没有能力详细介绍Morse-Bott theory对commutative Hamiltonian的moment map的应用?这是一个基本而重要的观念,即要使symplecto-morphism的fixed locus和某个Morse-Bott function的critical submanifolds相一致,这样就得到moment map convexity的结果。
所以这个思想可以发展。这个思想的一侧是compact Lie group [;G;](也可以考虑相应的maximal torus)的fixed locus,另一侧是Morse-Bott function的critical submanifold。fixed locus这一侧对应的理论是equivariant cohomology的localization theory,而critical submanifold一侧对应着Morse-Bott theory。Atiyah-Guillemin-Sternberg convexity theorem主要是在critical submanifold一侧考虑,应用了Morse-Bott theory。自然想到也可以重点考虑左侧的equivariant cohomology。Equivariant cohomology是一个[;H_G^\ast(pt);]-module,对它用module localization就可以得到所谓的Duistermaat-Heckman formula。这个观点和Duistermaat-Heckman的原始证明不同,它是从convexity theorem的counterpart的角度提出的。这个观点最早来自于Atiyah-Bott。
我认为使group action的fixed locus和其他submanifold coincide应该会导致其他重要结果,比如当这个submanifold是[;M;]的某个Gromov-Hausdorff limit的情形。你可以好好思考一下我propose的问题,这对你这种民科提高数学素养是很有帮助的。
2013-03-13 17:35:36 煙花不堪剪
另外,辛几何和Kahler几何的本质区别仅仅在于辛流形有一个相容的近复结构,而Kahler流形则有一个相容的复结构。这导致Kahler几何是辛几何的特殊情形。这个近复结构极为重要,它由Gromov发展出pseudo-holomorphic curve的概念,这导致了辛流形的刚性定理和Gromov-Witten不变量的提出。你连这些基本的概念都没有理清楚,写什么书评?
2013-03-13 17:37:55 煙花不堪剪
另外,Atiyah的方法,即使symplecto-morphism的fixed locus和某个Morse-Bott function的critical submanifolds相一致的方法,也可以用到Kahler流形上,这将导致更好的结果,特别是Gelfand-Macpherson定理的一个简单证明。你应该从阅读原文开始学习数学,而不是避重就轻地读教材。
2013-03-13 20:13:43 煙花不堪剪
你再看看你这个低能儿问的弱智问题:http://math.stackexchange.com/questions/321160/darbouxs-theorem-in-the-symplectic-geometry
你到底有没有智商啊,最基本的东西都没学懂,居然还恬不知耻地说“和外国学者交流”,人家只是同情你这个低能儿才愿意给你讲解基本概念。要是他们知道你不但低能还啃老,一定不会理睬你。
2013-03-13 20:21:40 煙花不堪剪
你根本不懂什么叫local equivalence,什么是equivalence problem。你对陈先生的学问一无所知。事实上,local equivalence是微分几何最重要的问题,在Riemannian几何情形,这个问题是被Levi-Civita联络解决的,在辛几何情形就是Darboux定理,它表明此时equivalence problem是trivial的,在Finsler几何情形是被陈先生1943年提出的Chern-Rund connection解决的,在CR几何情形就是著名的Chern-Moser invariants(Cartan-Tanaka formalism)。你既然连最重要的equivalence problem和Cartan‘s equivalence method都不懂,那就应该好好看我的科普文章:What is CR geometry?可惜的是,你这种弱智永远不会明白自己有多么无知。
来源:
http://book.douban.com/review/5809101/
最近学了一点辛几何,给大家谈几点初级想法,主要是侧重于辛流形的基本概念,解释一下什么是“Hamilton G-空间(M,ω,Φ)”,后者似乎是辛几何中经常出现的对象。
现代几何学的基本舞台是流形,但在研究一般流形时都默认读者已经了解线性空间,而这里辛流形用到的线行空间是带有辛结构的,这一点一般读者未必都熟悉,因此一般辛几何的入门书籍大都从辛线性空间开始介绍。所谓的辛线性空间,就是一般线性空间V上加一个辛结构ω,它被定义为V上的一个非退化反对称双线性形式,对此,可以类比所谓线性空间的正交结构,这里的辛结构则是把正交结构中的对称换成了反对称,类似的我们也可以定义辛向量空间下正交补的概念,只不过此时可能出现子空间W≤W⊥的情况,这样的子空间被称为迷向的(isotropic);假若W=W⊥,则子空间W称为Lagrange的。
辛向量空间(V,ω)上结构可以由辛基完全决定,所谓的辛基是指一组向量{e_1,…,e_d,f_1,…,f_d},它满足条件ω(e_i, f_j)=δ_ij,ω(e_i, e_j)=ω(f_i, f_j)=0. 任何辛向量空间内都有这样的辛基,因此总是偶数维的,同时任何2d维辛向量空间都同构与d个R^2上辛向量空间的直和。在此辛基下,V的Lagrange子空间均占据着一半的辛基,不妨就设为e_1,…,e_d,要是再添上另外的f_i项,那就只能称为是迷向子空间了。
把正交结构推广到一般流形上就得到一个黎曼结构,而把辛结构推广到流形上马马虎虎的还是叫辛结构。具体来说,假若流形M上带一个反对称的非退化闭二形式ω,那么(M,ω)就称为一个辛流形。对于辛流形我们有如下的典型性质:
1.偶数维:这是因为流形的维数就是切空间的维数,而切空间就是上面提到辛向量空间,因此一定是偶数维的。
2.可定向:这个是因为我们可以对ω做外积,得到它的体积形式ω^d,这里d=dim M/2.
3.若M是紧流形,偶数阶de Rham上同调群H^2i(M,R)(1≤i≤d)非平凡:ω^i就是H^2i(M,R)的非零元素。
4.切丛TM标准同构与余切丛T*M:具体来说,对任何x∈M,可由内积v→i(v)ω_x,v∈T_x(M)给出这里的对应关系,
5.辛结构ω在局部坐标可取为与C^d相同的标准形式ω=dx_1∧dy_1+…+dx_n∧dy_d,这个结论被称为Darboux定理。它说明同维数辛流形在局部上都是辛同胚的。由此可见,辛流形与Riemann流形的状况是完全不同的,在Riemann几何位于中心地位曲率概念在辛几何中是平凡的。
有人对此可能会有疑问,辛流形与Riemann流形的主要差别就是2-形式的对称与反对称,出现迷向的情况是可以理解的,但似乎不至于一下子让曲率消失掉。通过与国外学者交流,我明白了其中的奥妙,主要就是辛流形的概念中的微分形式ω是闭的,也就是说还附加一个微分方程dω=0,而在Riemann几何中这个微分方程就对应于曲率为零的条件,辛几何其实只是对应于Riemann几何中的一个特例而已。
由此可见,辛流形的条件还是相当苛刻的,即便是最常见的球面,一般还无法构成辛流形(n>2维球面的二阶上同调群平凡!)。然而,我们却又一大类特殊的辛流形,这就是一般光滑流形Q的余切丛T*Q,后者自然带有一个辛流形的结构。
假若π:T*Q→Q是一个自然投影,我们可以定义T*Q上的典型一形式α如下:对任何p∈Q
<α_p,v>=<p,dπ_p(v)>,v∈T_p(T*Q)
进而得到T*Q上的典型二形式:
ω=-dα
这样得到ω不仅是闭的,而且还是恰当的。假若一个辛流形上的辛形式ω都有这样的恰当形式,那么它就称为恰当辛流形。光滑流形的余切丛都可以被构造成恰当辛流形。
在余切丛T*Q内,Q的截面像构成T*Q的一个Lagrange辛子流形,即其切空间是T*Q的切空间的Lagrange子空间且继承了T*Q的辛结构的子流形。
下面来谈谈辛流形(M,ω)上的一些几何构造。先看所谓的辛向量场,它可以由D_X(ω)=0定义,此外还有对应于M上某个函数H的Hamilton向量场,它由i(X_H)ω=dH定义。通过Weil公式,D_X=di(X)+i(X)d可以证明Hamilton向量场都是辛向量场。
记(M,ω)上所有辛向量场的空间为S(M,ω),所有Hamilton向量场的空间为H(M,ω),我们有基本的正合列:
0→H^0(M;R)→C^∞(M)→S(M,ω)→H^1(M;R)→0
其中C^∞(M)→S(M,ω)是由函数f映射到它决定的Hamilton向量场H_f上的映射,当上同调群H^1(M;R)=0时,M上所有的辛向量场都是Hamilton向量场。
给定C^∞(M)内的两个函数f与g,我们还可以定义Poisson括号如下:
{f,g}=-ω(X_F,X_G)=i(X_F)dG=X_FG
由此给出C^∞(M)上的李代数结构,更准确的说法应该是Poisson代数。光滑函数空间具有Poisson代数的流形称为Poisson流形,它是比辛流形更加广泛的一类流形。
接下来看辛流形(M,ω)上的群作用,假设G是一个李群,M上的G-作用称为辛的,若它保持辛结构ω;G-作用称为Hamilton的,若它对应的向量场ξ是Hamilton的,同时它与G-作用还是可交换的,类似可定义G的李代数g在(M,ω)上的作用。这里的Hamilton作用可以具体表示为对任何ξ∈g,存在一个光滑函数Φ(ξ),使得ξ_M=X_(Φ(ξ)),即i(ξ_M)ω=dΦ(ξ),这里的ξ_M是ξ在流形M上由exp(-tξ)生成的向量场。
上面的映射ξ→Φ(ξ)可视为M到g*的映射,称为Hamilton作用G的力矩映射(moment map).在Hamilton作用下,力矩映射Φ:M→g*可以被确定到仅差一个常数。下面看力矩映射的两个特例:对于辛结构ω=-dα的恰当辛流形而言,其力矩映射Φ:M→g*可以直接定义为为<Φ,ξ>=<α,ξ_M>. 而对辛向量空间(V,ω)对李群G的辛表示而言,若任何ξ∈g在v∈V上有作用ξv,那么<Φ(v),w>=ω(w,ξv)/2,w∈V所给出的Φ:V=T_vV→ g*就是力矩映射。
这样我们终于可以解释什么是Hamilton G-空间(M,ω,Φ)了,就是指带力矩映射为Φ的Hamilton G-作用的辛流形(M,ω). 任意给定m∈M,可以证明力矩映射的核ker(dΦ)是所谓赋值映射的正交补,即由{ξ_M(m);ξ∈g}的组成的空间的补集,这里我们借助于ω的非退化性将TM与T*M等同。当G的作用可迁时,力矩映射的像就是g*上G的余伴随作用的一个单轨道,即Φ(M)=O,O=GΦ(m),m∈M. 进一步我们还有所谓的Kostant-Souriau定理,它是说任何余伴随轨道都有唯一不变辛形式使得单射O→g*是力矩映射,特别当G-作用可迁时,Φ覆盖整个轨道O,M上的辛形式可以由力矩映射从余伴随轨道O上拉回,因此是被力矩映射唯一决定的,这也就是力矩映射Φ在辛几何能与辛流形(M,ω)相提并论的原因了。
最后,简单提一下G=T时的一个结论,它被称为是环面作用的凸性定理:设(M,ω,Φ)是紧连通的Hamilton T-空间,T是有效作用在M上的环面,则力矩映射的像Φ(M)是维数等于dim(T)的多面体。在其证明中要用到了Morse理论的推广形式,主要是就由力矩映射诱导出来的函数的Morse-Bott函数,对此我就不再详细介绍了。
本文的主要参考书是Shlomo Sternberg的《辛几何讲义》,那本书后面还有Hamilton配边、线性化定理等内容,但却没有涉及到上同调,后者可以在Koszul的《辛几何引论》中得到补充。
评论:
2013-03-13 17:29:20 煙花不堪剪
你为什么没有能力详细介绍Morse-Bott theory对commutative Hamiltonian的moment map的应用?这是一个基本而重要的观念,即要使symplecto-morphism的fixed locus和某个Morse-Bott function的critical submanifolds相一致,这样就得到moment map convexity的结果。
所以这个思想可以发展。这个思想的一侧是compact Lie group [;G;](也可以考虑相应的maximal torus)的fixed locus,另一侧是Morse-Bott function的critical submanifold。fixed locus这一侧对应的理论是equivariant cohomology的localization theory,而critical submanifold一侧对应着Morse-Bott theory。Atiyah-Guillemin-Sternberg convexity theorem主要是在critical submanifold一侧考虑,应用了Morse-Bott theory。自然想到也可以重点考虑左侧的equivariant cohomology。Equivariant cohomology是一个[;H_G^\ast(pt);]-module,对它用module localization就可以得到所谓的Duistermaat-Heckman formula。这个观点和Duistermaat-Heckman的原始证明不同,它是从convexity theorem的counterpart的角度提出的。这个观点最早来自于Atiyah-Bott。
我认为使group action的fixed locus和其他submanifold coincide应该会导致其他重要结果,比如当这个submanifold是[;M;]的某个Gromov-Hausdorff limit的情形。你可以好好思考一下我propose的问题,这对你这种民科提高数学素养是很有帮助的。
2013-03-13 17:35:36 煙花不堪剪
另外,辛几何和Kahler几何的本质区别仅仅在于辛流形有一个相容的近复结构,而Kahler流形则有一个相容的复结构。这导致Kahler几何是辛几何的特殊情形。这个近复结构极为重要,它由Gromov发展出pseudo-holomorphic curve的概念,这导致了辛流形的刚性定理和Gromov-Witten不变量的提出。你连这些基本的概念都没有理清楚,写什么书评?
2013-03-13 17:37:55 煙花不堪剪
另外,Atiyah的方法,即使symplecto-morphism的fixed locus和某个Morse-Bott function的critical submanifolds相一致的方法,也可以用到Kahler流形上,这将导致更好的结果,特别是Gelfand-Macpherson定理的一个简单证明。你应该从阅读原文开始学习数学,而不是避重就轻地读教材。
2013-03-13 20:13:43 煙花不堪剪
你再看看你这个低能儿问的弱智问题:http://math.stackexchange.com/questions/321160/darbouxs-theorem-in-the-symplectic-geometry
你到底有没有智商啊,最基本的东西都没学懂,居然还恬不知耻地说“和外国学者交流”,人家只是同情你这个低能儿才愿意给你讲解基本概念。要是他们知道你不但低能还啃老,一定不会理睬你。
2013-03-13 20:21:40 煙花不堪剪
你根本不懂什么叫local equivalence,什么是equivalence problem。你对陈先生的学问一无所知。事实上,local equivalence是微分几何最重要的问题,在Riemannian几何情形,这个问题是被Levi-Civita联络解决的,在辛几何情形就是Darboux定理,它表明此时equivalence problem是trivial的,在Finsler几何情形是被陈先生1943年提出的Chern-Rund connection解决的,在CR几何情形就是著名的Chern-Moser invariants(Cartan-Tanaka formalism)。你既然连最重要的equivalence problem和Cartan‘s equivalence method都不懂,那就应该好好看我的科普文章:What is CR geometry?可惜的是,你这种弱智永远不会明白自己有多么无知。
来源:
http://book.douban.com/review/5809101/
数学书籍文献阅读与讨论的日记 ( 全部 )
- Schwarz's Lemma from a Differential Geometric Viewpoint - Kang-Tae Kim / Hanjin Lee
- Transcendental Methods in Algebraic Geometry - Jean-Pierre Demailly / Thomas Peternell / Gang Tian / Andrej N. Tyurin
- Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries - Mark Gross / Daniel Huybrechts
- Theory of Operator Algebras II - Masamichi Takesaki
- Fundamentals of the Theory of Operator Algebras Vol. 2: Advanced Theory - Richard V. Kadison / John Ringrose
> 我来回应